Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Çeviri: Suleyman Cengiz Gözden geçirme: Figen Ergürbüz

In the world of math,

Matematik dünyasında

many strange results are possible when we change the rules.

kuralları değiştirdiğimizde pek çok ilginç sonuca ulaşmak mümkün.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Ama kırılmaması konusunda hepimizin uyarıldığı tek bir kural var:

don’t divide by zero.

Sıfırla bölme.

How can the simple combination of an everyday number

Gündelik kullanılan basit bir sayı ile

and a basic operation cause such problems?

temel bir işlemin birlikteliği nasıl problem olabilir ki?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Normalde, daha küçük sayılarla böldükçe

gives you bigger and bigger answers.

sonuç gittikçe büyür.

Ten divided by two is five,

On bölü iki beş,

by one is ten,

on bölü bir ise on,

by one-millionth is 10 million,

onun milyonda bir ile bölümü ise on milyon

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

ve böyle gider.

Yani sayıları, sıfıra doğru

that keep shrinking all the way down to zero,

gittikçe küçülen sayılarla böldükçe,

the answer will grow to the largest thing possible.

sonuç olası en büyük değere doğru büyümektedir.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

Bu durumda 10 bölü sıfır sonsuz olmaz mı?

That may sound plausible.

Mümkün görünebilir.

But all we really know is that if we divide 10

Ama gerçekte tüm bildiğimiz, eğer 10'u

by a number that tends towards zero,

sıfıra yaklaşan bir sayıyla bölerseniz

the answer tends towards infinity.

sonucun sonsuza yaklaşacağıdır.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

Ancak bu, 10 bölü sıfırın sonsuz olduğu

is equal to infinity.

anlamına gelmez.

Why not?

Peki neden?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Gerçekte bölmenin ne anlama geldiğini yakından görmeye çalışalım.

Ten divided by two could mean,

On bölü iki şu şekilde anlaşılabilir:

"How many times must we add two together to make 10,”

"Kaç tane iki sayısını toplamalıyız ki 10 yapsın,"

or, “two times what equals 10?”

ya da "iki kere kaç 10 yapar?"

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Bir sayıyla bölmek aslında onunla çarpmanın tersidir,

in the following way:

şu şekilde:

if we multiply any number by a given number x,

Bir sayıyı belli bir x sayısıyla çarparsak

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

sonrasında yeni bir sayıyla çarparak tekrar başa dönebileceğimiz

to get back to where we started.

bir sayı var mı diye sorabiliriz.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Varsa bu yeni sayıya x'in çarpmaya göre tersi denir.

For example, if you multiply three by two to get six,

Örneğin üçü iki ile çarparsak altı olur,

you can then multiply by one-half to get back to three.

sonra yarımla çarparak tekrar üçe dönebiliriz.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Yani ikinin çarpmaya göre tersi yarımdır

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

ve 10'nun çarpmaya göre tersi 1/10'dur.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Bir sayı ile çarpmaya göre tersinin çarpımının daima bir olduğunu

is always one.

fark edebilirsiniz.

If we want to divide by zero,

Eğer sıfırla bölmek istersek

we need to find its multiplicative inverse,

çarpmaya göre tersini bulmak gerekir,

which should be one over zero.

yani bir bölü sıfır sayısını.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Bu öyle bir sayı olacak ki sıfırla çarparsak bir bulacağız.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Ancak sıfırla çarpımın sonucu hep sıfırdır,

such a number is impossible,

böyle bir sayı ise olamaz,

so zero has no multiplicative inverse.

yani sıfırın çarpmaya göre tersi yok.

Does that really settle things, though?

Peki bu, gerçekten meseleyi halleder mi?

After all, mathematicians have broken rules before.

Sonuçta matematikçiler daha önce de kuralları bozdular.

For example, for a long time,

Örneğin uzun zaman önce

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

negatif sayıların karekökü diye bir şey yoktu.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Ama sonra matematikçiler eksi birin karekökünü

as a new number called i,

i diye bir sayı olarak tanımladılar,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

öyle ki tamamen yeni olan karmaşık sayıların matematik dünyası ortaya çıktı.

So if they can do that,

Yani bu yapılabiliyorsa

couldn’t we just make up a new rule,

biz de yeni bir kural çıkaramaz mıyız,

say, that the symbol infinity means one over zero,

diyelim ki bir bölü sıfır sonsuz sembolü demek olsun

and see what happens?

ve sonra ne olacak bakalım?

Let's try it,

Deneyelim,

imagining we don’t know anything about infinity already.

henüz sonsuzla ilgili bir şey bilmediğimizi varsayalım.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

Çarpmaya göre tersin tanımına dayanarak

zero times infinity must be equal to one.

sıfır çarpı sonsuz bir olmalı.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

Yani sıfır çarpı sonsuz artı sıfır çarpı sonsuz iki olmalı.

Now, by the distributive property,

Şimdi dağılma özelliğinden

the left side of the equation can be rearranged

bu eşitliğin sol tarafı sıfır artı sıfır çarpı sonsuz

to zero plus zero times infinity.

olacak şekilde düzenlenebilir.

And since zero plus zero is definitely zero,

Ancak sıfır artı sıfır kesinlikle sıfır olduğundan

that reduces down to zero times infinity.

eşitlik sıfır çarpı sonsuz olur.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

Ne yazık ki bunun zaten bir olduğunu söyledik,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

ancak eşitliğin diğer tarafının hâlâ iki olduğunu görüyoruz.

So, one equals two.

Yani bir eşit iki oldu.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

İşin garibi, buna kesinlikle yanlış diyemeyiz;

it's just not true in our normal world of numbers.

sadece bizim bildiğimiz sayılar dünyasında doğru değil.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Bunun matematiksel anlamda geçerli olmasının bir yolu,

if one, two, and every other number were equal to zero.

bir, iki ve diğer tüm sayıların sıfıra eşit olması.

But having infinity equal to zero

Ancak sonsuzun sıfıra eşit olması

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

sonuçta ne matematikçilerin, ne de diğerlerinin işine yaramaz.

There actually is something called the Riemann sphere

Aslında sıfıra bölmenin farklı bir şekilde yapıldığı

that involves dividing by zero by a different method,

Riemann küresi adlı bir konu var,

but that’s a story for another day.

ancak bu başka bir günün hikâyesi.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

Böylelikle en açık şekliyle sıfırla bölme

doesn’t work out so great.

pek de işe yaramıyor.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Ancak bu bizi tehlikeye atılıp matematiğin kurallarını kırarak

and experimenting with breaking mathematical rules

denemeler yapıp eğlenceli şeyler bulup bulamayacağımız görmekten,

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

yani yeni dünyalar keşfetmekten alıkoymamalıdır.