Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Translator: Kelwalin Dhanasarnsombut Reviewer: Rawee Ma

In the world of math,

ในโลกทางคณิตศาสตร์

many strange results are possible when we change the rules.

ผลลัพธ์แปลก ๆ เป็นไปได้เมื่อเราเปลี่ยนกฎ

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

แต่มีกฎอยู่อย่างหนึ่งที่พวกเราส่วนใหญ่ ถูกเตือนว่าอย่าได้ฝืนมัน

don’t divide by zero.

นั่นก็คืออย่าหารอะไรก็ตามด้วยศูนย์

How can the simple combination of an everyday number

การรวมกันธรรมดา ๆ ของเลขในชีวิตประจำวัน

and a basic operation cause such problems?

และการดำเนินการพื้นฐาน ทำให้เกิดปัญหาดังกล่าวได้อย่างไร

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

ตามปกติ การหาร โดยจำนวนที่มีค่าน้อยลงเรื่อย ๆ

gives you bigger and bigger answers.

จะทำให้เราได้ผลลัพธ์ที่มากขึ้นเรื่อย ๆ

Ten divided by two is five,

สิบหารด้วยสองคำตอบคือห้า

by one is ten,

หารด้วยหนึ่งได้สิบ

by one-millionth is 10 million,

หารด้วยหนึ่งในล้านได้สิบล้าน

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

เป็นต้น

มันเหมือนว่าถ้าเราหารด้วยจำนวน

that keep shrinking all the way down to zero,

ที่เล็กลงเรื่อย ๆ จนถึงศูนย์

the answer will grow to the largest thing possible.

คำตอบก็จะใหญ่ขึ้นเรื่อย ๆ จนมีค่ามากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

แล้ว ไม่ใช่ว่าคำตอบของการหาร 10 ด้วยศูนย์จะทำให้ได้อนันต์หรอกหรือ

That may sound plausible.

นั่นอาจฟังดูเข้าท่า

But all we really know is that if we divide 10

แต่เรารู้ว่าแค่ว่าถ้าเราหาร 10

by a number that tends towards zero,

ด้วยจำนวนที่มีค่าเข้าสู่ศูนย์

the answer tends towards infinity.

คำตอบจะมีค่าเข้าสู่อนันต์

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

และนั่นไม่เหมือนกัน กับการบอกว่า 10 ที่ถูกหารด้วยศูนย์

is equal to infinity.

เท่ากับอนันต์

Why not?

ทำไมล่ะ

Well, let’s take a closer look at what division really means.

ลองมาคิดดูดี ๆ ว่าหารหมายถึงอะไร

Ten divided by two could mean,

สิบหารด้วยสองสามารถหมายถึง

"How many times must we add two together to make 10,”

"เราจะต้องเอาสองมารวมกันกี่ครั้ง ถึงจะทำให้ได้ 10"

or, “two times what equals 10?”

หรือ "อะไรคูณสองได้ 10"

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

การหารด้วยจำนวน คือการกระทำย้อนกลับกับการคูณ

in the following way:

ด้วยวิธีการนี้

if we multiply any number by a given number x,

ถ้าเราคูณจำนวนใด ๆ ด้วยจำนวน x ที่ต้องการ

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

เราสามารถถามได้ว่า จะมีจำนวนใด ที่เราจะคูณมันได้หลังจากนั้น

to get back to where we started.

เพื่อที่จะทำให้ได้จำนวนตั้งต้นไหม

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

ถ้ามี จำนวนใหม่นั้นเรียกว่า ส่วนกลับการคูณของ x

For example, if you multiply three by two to get six,

ยกตัวอย่างเช่น ถ้าคุณคูณสามด้วยสอง เพื่อให้ได้หก

you can then multiply by one-half to get back to three.

จากนั้นคุณสามารถคูณด้วยครึ่งหนึ่งของมัน เพื่อให้ได้สามกลับมา

So the multiplicative inverse of two is one-half,

ฉะนั้น ส่วนกลับการคูณ ของสองก็คือหนึ่งส่วนสอง

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

และส่วนกลับการคูณของ 10 ก็คือหนึ่งในสิบ

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

อย่างที่คุณสังเกต ผลลัพธ์ของจำนวนใด ๆ และส่วนกลับการคูณของมัน

is always one.

จะเป็นหนึ่งเสมอ

If we want to divide by zero,

ถ้าคุณอยากจะหารด้วยศูนย์

we need to find its multiplicative inverse,

คุณต้องหาส่วนกลับการคูณของมัน

which should be one over zero.

ซึ่งควรจะเป็นหนึ่งส่วนศูนย์

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

นั่นน่าจะเป็นจำนวน ที่การคูณมันด้วยศูนย์จะให้ค่าเป็นหนึ่ง

But because anything multiplied by zero is still zero,

แต่เพราะว่าอะไรก็ตามที่ถูกคูณด้วยศูนย์ ยังมีค่าเป็นศูนย์

such a number is impossible,

จำนวนดังกล่าวจึงเป็นไปไม่ได้

so zero has no multiplicative inverse.

ฉะนั้น ศูนย์จึงไม่มีส่วนกลับการคูณ

Does that really settle things, though?

แล้วมันทำให้เราหมดข้อสงสัยหรือยัง

After all, mathematicians have broken rules before.

อย่างไรก็ตาม นักคณิตศาสตร์ ได้ฝืนกฎเป็นบางครั้ง

For example, for a long time,

ยกตัวอย่างเช่น เป็นเวลานานมาแล้ว

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

มันยังไม่มีการถอดรากที่สองของจำนวนติดลบ

But then mathematicians defined the square root of negative one

แต่จากนั้น เมื่อนักคณิตศาสตร์ กำหนดค่ารากที่สองของจำนวนติดลบ

as a new number called i,

เป็นจำนวนใหม่ที่เรียกว่า i

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

มันก็ได้เปิดโลกใหม่ทางคณิตศาสตร์ ให้กับจำนวนเชิงซ้อน

So if they can do that,

ถ้าพวกเขาสามารถทำอย่างนั้นได้

couldn’t we just make up a new rule,

เราจะสามารถสร้างกฎใหม่

say, that the symbol infinity means one over zero,

เช่น สัญลักษณ์อนันต์ หมายถึงหนึ่งที่ถูกหารด้วยศูนย์

and see what happens?

และดูซิว่ามันจะเกิดอะไรขึ้น

Let's try it,

ลองดูนะ

imagining we don’t know anything about infinity already.

ลองคิดดูว่า เราไม่รู้อะไรเลย เกี่ยวกับค่าอนันต์

Based on the definition of a multiplicative inverse,

จากนิยามของส่วนกลับการคูณ

zero times infinity must be equal to one.

ศูนย์คูณกับอนันต์จะต้องได้หนึ่ง

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

นั่นหมายความว่าศูนย์คูณกับอนันต์ บวกกับศูนย์คูณอนันต์มีค่าเท่ากับสอง

Now, by the distributive property,

ทีนี้ ด้วยสมบัติการกระจาย

the left side of the equation can be rearranged

ทางด้านซ้ายของสมการสามารถถูกจัดเรียงใหม่

to zero plus zero times infinity.

เป็นศูนย์บวกกับศูนย์คุณอนันต์

And since zero plus zero is definitely zero,

และเมื่อศูนย์บวกศูนย์ เป็นศูนย์แน่ ๆ

that reduces down to zero times infinity.

นั่นทำให้มีค่าเท่ากับศูนย์คูณกับอนันต์

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

น่าเสียดาย เรากำหนดค่า ให้มันเท่ากับหนึ่งแล้ว

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

ในขณะที่อีกข้างหนึ่งของสมการ ยังบอกว่าเรามันเท่ากับสอง

So, one equals two.

ฉะนั้น หนึ่งมีค่าเท่ากับสอง

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

น่าประหลาด นั่นก็อาจจะไม่ผิดนะ

it's just not true in our normal world of numbers.

มันแค่ไม่จริง ในโลกแห่งจำนวนในความจริงของเรา

There’s still a way it could be mathematically valid,

มันยังเป็นไปได้ที่มันอาจมีค่า ที่สมเหตุสมผลทางคณิตศาสตร์

if one, two, and every other number were equal to zero.

ถ้าหนึ่ง สอง และจำนวนอื่น ๆ มีค่าเท่ากับศูนย์

But having infinity equal to zero

แต่การที่อนันต์มีค่าเท่ากับศูนย์

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

ไม่ได้มีประโยชน์สักเท่าไร ต่อนักคณิตศาสตร์ และคนอื่น ๆ

There actually is something called the Riemann sphere

นั่นเป็นสิ่งที่เรียกว่า รีมันน์สเฟียร์

that involves dividing by zero by a different method,

ที่เกี่ยวข้องกับการหารด้วยศูนย์ โดยวิธีการต่าง ๆ

but that’s a story for another day.

แต่เอาไว้ค่อยเล่าวันหลังนะ

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

ตอนนี้ การหารด้วยศูนย์ ในแบบที่เราเห็นกันชัด ๆ นี้

doesn’t work out so great.

ออกมาไม่ค่อยจะดีเท่าไร

But that shouldn’t stop us from living dangerously

แต่นั่นก็ไม่ควรหยุดเรา จากการใช้ชีวิตอย่างผาดโผน

and experimenting with breaking mathematical rules

และทดลองฝืนกฎทางคณิตศาสตร์

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

เพื่อที่จะลองประดิษฐ์อะไรสนุก ๆ สร้างโลกใหม่ให้เราได้สำรวจกัน