Why can't you divide by zero? - TED-Ed

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Sigal Tifferet

In the world of math,

בעולם המתמטיקה,

many strange results are possible when we change the rules.

הרבה תוצאות מוזרות אפשריות כשאנחנו משנים את הכללים.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

אבל יש כלל אחד שנאמר לרובנו לא להפר:

don’t divide by zero.

לא לחלק באפס.

How can the simple combination of an everyday number

איך צירוף פשוט של מספר יום יומי

and a basic operation cause such problems?

ופעולה בסיסית יכול לגרום לכאלו בעיות?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

באופן נורמלי, חלוקה במספרים קטנים יותר יותר

gives you bigger and bigger answers.

נותנת תוצאה גדולה יותר ויותר.

Ten divided by two is five,

עשר לחלק בשתיים זה חמש,

by one is ten,

באחד זה עשר,

by one-millionth is 10 million,

ובמליונית זה 10 מליון,

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

וכך הלאה.

אז נראה שחלוקה במספרים

that keep shrinking all the way down to zero,

שממשיכים להתכווץ כל הדרך עד לאפס,

the answer will grow to the largest thing possible.

התשובות יגדלו לדבר הגדול ביותר האפשרי.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

אז, האם התשובה לחלוקת עשר באפס היא לא אינסוף?

That may sound plausible.

זה אולי נשמע אפשרי.

But all we really know is that if we divide 10

אבל כל מה שאנחנו יודעים זה שאם מחלקים 10

by a number that tends towards zero,

במספר ששואף לאפס,

the answer tends towards infinity.

התשובה שואפת לאינסוף.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

וזה לא אותו הדבר כמו להגיד שעשר לחלק באפס

is equal to infinity.

שווה לאינסוף.

Why not?

למה לא?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

ובכן, הבה נביט מקרוב במה המשמעות האמיתית של חלוקה.

Ten divided by two could mean,

עשר לחלק בשתיים יכול להיות,

"How many times must we add two together to make 10,”

"כמה פעמים צריך להוסיף שתיים כדי להגיע ל 10,"

or, “two times what equals 10?”

או, "שתיים כפול מה שווה 10?"

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

חלוקה במספר היא בעיקרון ההפך מהכפלה שלו,

in the following way:

בדרך הבאה:

if we multiply any number by a given number x,

אם מכפילים כל מספר במספר נתון x,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

אנחנו יכולים לשאול אם יש מספר חדש בו נוכל להכפיל לאחר מכן

to get back to where we started.

כדי לחזור בחזרה למקום בו התחלנו.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

אם הוא ישנו, המספר נקרא המספר ההופכי של x.

For example, if you multiply three by two to get six,

לדוגמה, אם אתם מכפילים שלוש בשתיים כדי לקבל שש,

you can then multiply by one-half to get back to three.

אתם יכולים להכפיל אז בחצי כדי לקבל בחזרה שלוש.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

אז המספר ההופכי של שתיים היא חצי,

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

והמספר ההופכי של 10 היא עשירית.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

כמו שאתם רואים, המכפלה של כל מספר והמספר ההופכי שלו

is always one.

היא תמיד אחד.

If we want to divide by zero,

אם אנחנו רוצים לחלק באפס,

we need to find its multiplicative inverse,

אנחנו צריכים לגלות את המספר ההופכי שלו,

which should be one over zero.

שצריך להיות אחד חלקי אפס.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

זה יהיה חייב להיות מספר שהכפלתו באפס תיתן אחד.

But because anything multiplied by zero is still zero,

אבל בגלל שהכפלת כל מספר באפס זה עדיין אפס,

such a number is impossible,

מספר כזה הוא בלתי אפשרי,

so zero has no multiplicative inverse.

אז לאפס אין מספר הופכי.

Does that really settle things, though?

האם זה באמת סוגר את העניינים?

After all, mathematicians have broken rules before.

אחרי הכל, מתמטיקאים שברו חוקים לפני כן.

For example, for a long time,

לדוגמה, במשך זמן רב,

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

לא היה דבר כזה של לקחת שורש ריבועי של מספר שלילי.

But then mathematicians defined the square root of negative one

אבל אז מתמטיקאים הגדירו את השורש הריבועי של מינוס אחד

as a new number called i,

כמספר הנקרא i,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

מה שפתח עולם מתמטי חדש לגמרי של מספרים מרוכבים.

So if they can do that,

אז אם הם יכולים לעשות את זה,

couldn’t we just make up a new rule,

האם נוכל פשוט להמציא חוק חדש,

say, that the symbol infinity means one over zero,

נגיד, שהסמל לאינסוף אומר אחד חלקי אפס,

and see what happens?

ולראות מה יקרה?

Let's try it,

בואו ננסה את זה,

imagining we don’t know anything about infinity already.

דמיינו שאנחנו לא יודעים כלום לגבי אינסוף.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

בהתבסס על ההגדרה של מספר הופכי,

zero times infinity must be equal to one.

אפס פעמים אינסוף חייב להיות שווה אחד.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

זה אומר שאפס פעמים אינסוף ועוד אפס פעמים אינסוף צריך להיות שווה שתיים.

Now, by the distributive property,

עכשיו, בשל התכונה החלוקתית,

the left side of the equation can be rearranged

הצד השמאלי של המשוואה יכול להיות מאורגן מחדש

to zero plus zero times infinity.

לאפס ועוד אפס כפול אינסוף.

And since zero plus zero is definitely zero,

ומאחר ואפס ועוד אפס זה בהחלט אפס,

that reduces down to zero times infinity.

זה מצטמצם לאפס פעמים אינסוף.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

למרבה הצער, כבר הגדרנו את זה כשווה לאחד,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

בעוד הצד השני של המשוואה עדיין שווה לשתיים.

So, one equals two.

אז, אחד שווה לשתיים.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

מוזר, אבל זה לא לא בהכרח שגוי;

it's just not true in our normal world of numbers.

זה פשוט לא נכון בעולם המספרים הנורמלי שלנו.

There’s still a way it could be mathematically valid,

יש עדיין דרך שזה יכול להיות נכון מתמטית,

if one, two, and every other number were equal to zero.

אם אחד, שתיים וכל מספר אחר היה שווה לאפס.

But having infinity equal to zero

אבל אם אינסוף שווה לאפס

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

זה בסופו של דבר לא כל כך שמיש למתמטיקאים, או לכל אחד אחר.

There actually is something called the Riemann sphere

יש למעשה משהו שנקרא ספירת רימן

that involves dividing by zero by a different method,

שכוללת חלוקה באפס בשיטה שונה,

but that’s a story for another day.

אבל זה סיפור ליום אחר.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

בינתיים, חלוקה באפס בדרך הכי ברורה

doesn’t work out so great.

לא עובדת כל כך טוב.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

אבל זה לא צריך לעצור אותנו מלחיות באופן מסוכן

and experimenting with breaking mathematical rules

ולהתנסות בשבירת חוקים מתמטיים

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

כדי לראות אם נוכל להמציא עולמות חדשים וכיפיים לחקור.