Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Elena Crescia

In the world of math,

No mundo da matemática,

many strange results are possible when we change the rules.

são possíveis resultados muito estranhos quando mudamos as regras.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Mas somos avisados de que há uma regra que não devemos infringir:

don’t divide by zero.

nunca dividam por zero.

How can the simple combination of an everyday number

Como é que a simples combinação de um número tão vulgar

and a basic operation cause such problems?

com uma operação básica pode provocar tantos problemas?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Normalmente, a divisão por números cada vez mais pequenos

gives you bigger and bigger answers.

dá-nos resultados cada vez maiores.

Ten divided by two is five,

Dez a dividir por dois é igual a cinco,

by one is ten,

a dividir por um é igual a dez,

by one-millionth is 10 million,

a dividir por um milionésimo é igual a 10 milhões,

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

e assim por diante.

Parece, portanto, que, se dividirmos

that keep shrinking all the way down to zero,

por números cada vez menores, até chegarmos ao zero,

the answer will grow to the largest thing possible.

o resultado irá aumentando atá ao maior número possível.

Então, o resultado de 10 a dividir por 0 será o infinito?

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

That may sound plausible.

Parece ser plausível.

But all we really know is that if we divide 10

Mas, na verdade, só sabemos que,

se dividirmos 10 por um número que se vai aproximando de zero,

by a number that tends towards zero,

the answer tends towards infinity.

o resultado vai-se aproximando do infinito.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

Não é a mesma coisa que dizer

que 10 a dividir por zero é igual a infinito.

is equal to infinity.

Why not?

Porque é que não é?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Olhemos com mais atenção para o significado de uma divisão.

Ten divided by two could mean,

Dez a dividir por dois pode significar:

"How many times must we add two together to make 10,”

"Quantas vezes temos que adicionar mais dois para chegar a 10?"

or, “two times what equals 10?”

ou "duas vezes o quê é igual a 10?"

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

A divisão por um número é essencialmente o inverso da sua multiplicação,

in the following way:

ou seja:

if we multiply any number by a given number x,

Se multiplicarmos qualquer número por um determinado número x,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

podemos perguntar se haverá outro número pelo qual o possamos multiplicar de novo

to get back to where we started.

para obter o valor inicial.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Se houver, chamamos a esse novo número o multiplicador inverso de x.

For example, if you multiply three by two to get six,

Por exemplo, se multiplicarmos três por dois, obtemos seis.

you can then multiply by one-half to get back to three.

Depois, podemos multiplicar por um meio, para voltarmos a três.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Portanto, o multiplicador inverso de dois é um meio

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

e o multiplicador inverso de 10 é um décimo.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Como viram, o produto de qualquer número pelo seu multiplicador inverso

is always one.

é sempre a unidade.

If we want to divide by zero,

Se quisermos dividir por zero,

we need to find its multiplicative inverse,

precisamos de encontrar o seu multiplicador inverso

which should be one over zero.

que deveria ser um sobre zero.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Isso teria que ser um número tal que, multiplicando-o por zero,

fosse igual a uma unidade.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Mas, como tudo o que for multiplicado por zero, é igual a zero,

such a number is impossible,

esse número é impossível,

so zero has no multiplicative inverse.

portanto, zero não tem multiplicador inverso.

Does that really settle things, though?

Mas isto resolve mesmo as coisas?

After all, mathematicians have broken rules before.

Afinal, os matemáticos já têm infringido regras.

For example, for a long time,

Por exemplo, durante muito tempo,

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

não existia forma de extrair a raiz quadrada a números negativos.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Mas, depois, os matemáticos definiram a raiz quadrada de um negativo

as a new number called i,

como um número chamado i,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

abrindo todo um novo mundo matemático de números complexos.

So if they can do that,

Então, se podemos fazer isso,

couldn’t we just make up a new rule,

não poderíamos fazer uma nova regra,

say, that the symbol infinity means one over zero,

por exemplo, que o símbolo infinito significa um sobre zero

and see what happens?

e ver o que acontece?

Let's try it,

Vamos experimentar.

imagining we don’t know anything about infinity already.

Imaginem que ainda não sabemos nada sobre o infinito.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

Com base na definição de um multiplicador inverso,

zero times infinity must be equal to one.

zero vezes infinito tem que ser igual à unidade.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

Isso significa que zero vezes infinito mais zero vezes infinito

devia ser igual a dois.

Now, by the distributive property,

Ora bem, pela propriedade distributiva,

the left side of the equation can be rearranged

o lado esquerdo da equação pode ser reorganizada

to zero plus zero times infinity.

para zero mais zero, vezes infinito.

And since zero plus zero is definitely zero,

Como zero mais zero é, sem dúvida, zero,

that reduces down to zero times infinity.

isso reduz-se a zero vezes infinito.

Infelizmente, já definimos isso como igual à unidade

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

embora o outro lado da equação continua a dizer-nos que é igual a dois.

So, one equals two.

Portanto, um igual a dois.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Por estranho que pareça, pode não estar errado.

it's just not true in our normal world of numbers.

Só que não é verdade no nosso mundo habitual de números.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Mas ainda há uma forma em que poderia ser válido matematicamente,

if one, two, and every other number were equal to zero.

se um, dois e todos os outros números fossem iguais a zero.

But having infinity equal to zero

Mas, afinal, se infinito fosse igual a zero,

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

isso não teria qualquer utilidade nem para os matemáticos nem para ninguém.

There actually is something called the Riemann sphere

Com efeito, há uma coisa chamada a esfera de Riemann

that involves dividing by zero by a different method,

que envolve a divisão por zero através de um método diferente,

but that’s a story for another day.

mas isso é uma história para outro dia.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

Entretanto, a divisão por zero da maneira mais óbvia

doesn’t work out so great.

não funciona lá muito bem.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Mas isso não nos impede de viver na corda bamba

and experimenting with breaking mathematical rules

e de experimentar infringir as regras da matemática

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

para ver se conseguimos inventar

novos mundos divertidos para explorar.