Why can't you divide by zero? - TED-Ed

번역: Won Jang 검토: JY Kang

"신이 0으로 나누기를 하면 그곳에 블랙홀이 생긴다." - 스티븐 라이트

In the world of math,

수학의 세계에서는

many strange results are possible when we change the rules.

규칙을 바꾸었을 때, 예상치 못한 결과들이 일어나곤 합니다.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

하지만 누구도 어길 수 없는 하나의 규칙이 있지요.

don’t divide by zero.

"0으로 나누지 말라."

How can the simple combination of an everyday number

우리가 매일 사용하는 0이라는 숫자와 간단한 4칙 연산 중 하나가 만나면

and a basic operation cause such problems?

어떤 문제가 발생하는 것일까요?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

일반적으로 어떤 수를 더 작은 수로 나눌수록

gives you bigger and bigger answers.

나오는 값은 더 커집니다.

Ten divided by two is five,

10을 2로 나누면 5가 되고

by one is ten,

1로 나누면 10이 되며

by one-millionth is 10 million,

백만분의 1로 나누면 천만이라는 수가 되죠.

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

이런 식으로 계속됩니다.

따라서 어떤 수로 나누려고 할 때

that keep shrinking all the way down to zero,

그 수가 계속 작아져 0에 수렴하게 되면

the answer will grow to the largest thing possible.

결과 값은 가장 큰 수에 가깝게 증가한다고 볼 수 있습니다.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

그렇다면 10 나누기 0에 대한 답은 무한대가 아닐까요?

That may sound plausible.

꽤나 그럴싸한 말처럼 보입니다.

But all we really know is that if we divide 10

하지만 우리가 알고 있는 것은

10이라는 수를 0에 가까운 수로 나눌수록

by a number that tends towards zero,

the answer tends towards infinity.

그 답이 무한대로 수렴한다는 것입니다.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

10을 0으로 나눈 값이

is equal to infinity.

무한대와 같다는 뜻은 아니죠.

Why not?

왜 그럴까요?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

먼저 나눗셈이 무엇인지 한번 자세히 살펴볼까요?

Ten divided by two could mean,

10 나누기 2는 이렇게 설명할 수 있습니다.

"How many times must we add two together to make 10,”

"10을 만들기 위해서는 2를 몇 번 더해야 되는가,"

or, “two times what equals 10?”

혹은 "2 곱하기 몇이 10인가?"로 바꿀 수 있지요.

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

어떤 수로 나눈다는 것은 그 수를 곱하는 것의 반대입니다.

in the following way:

지금부터 설명드리죠.

if we multiply any number by a given number x,

어떤 수에 임의의 수 x를 곱해서 값이 나왔을 때

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

이 값에 어떤 수를 곱하면 처음의 수가 나오는지

to get back to where we started.

찾아볼 수 있습니다.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

그런 수가 있다면, 우리는 그것을 x의 역수라고 부릅니다.

For example, if you multiply three by two to get six,

예를 들면 우리가 3을 2로 곱해서 6을 얻었을 때

you can then multiply by one-half to get back to three.

여기에 1/2을 다시 곱하면 처음의 수 3으로 돌아갈 수 있지요.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

따라서 2의 역수는 1/2입니다.

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

그리고 10의 역수는 1/10이지요.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

여기서 볼 수 있듯이 모든 수와 그 역수의 곱은

is always one.

항상 1이 됩니다.

If we want to divide by zero,

만약 우리가 0으로 나누려고 한다면

we need to find its multiplicative inverse,

우리는 0의 역수를 알아내야 합니다.

which should be one over zero.

이는 1/0이 되겠지요.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

또한 이 수를 0으로 곱하면 1이 나와야 하겠지요.

But because anything multiplied by zero is still zero,

하지만 어떤 수에 0을 곱하면 항상 0이 되므로

such a number is impossible,

이런 수는 존재할 수 없습니다.

so zero has no multiplicative inverse.

따라서 0은 역수를 가질 수 없습니다.

Does that really settle things, though?

이 정도면 더 논란의 여지가 없겠지요?

After all, mathematicians have broken rules before.

그런데 지금까지의 수학자들은 규칙들을 깨기도 했습니다.

For example, for a long time,

예를 들면, 한 동안

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

음수에는 루트를 씌울 수 없다고 생각했지요.

But then mathematicians defined the square root of negative one

하지만 수학자들은 -1에 루트를 씌운 것을

as a new number called i,

새로운 숫자인 i로 정의했습니다.

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

덕분에 완전히 새로운 수학의 세계인 복소수라는 것이 탄생했습니다.

So if they can do that,

그렇다면 이런 식으로 새로운 규칙을 만들어서

couldn’t we just make up a new rule,

say, that the symbol infinity means one over zero,

무한대는 1/0과 같다고 정의하면

and see what happens?

어떤 일이 생기는지 볼까요?

Let's try it,

한번 해봅시다.

imagining we don’t know anything about infinity already.

우리가 무한대에 대해서 아무것도 모른다고 가정해봅시다.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

역수의 정의에 따라서

zero times infinity must be equal to one.

0을 무한으로 곱하면 1이 됩니다.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

그렇다면 0 곱하기 무한대 더하기 0 곱하기 무한대는 2가 되어야 겠지요.

Now, by the distributive property,

이제 분배법칙에 따라

the left side of the equation can be rearranged

이 등식의 좌변을 새로 정리해서

to zero plus zero times infinity.

0더하기 0 곱하기 무한대로 바꾸어 봅시다.

And since zero plus zero is definitely zero,

그리고 0 더하기 0은 당연히 0이므로

that reduces down to zero times infinity.

이는 다시 0 곱하기 무한대가 됩니다.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

그런데 우리는 0 곱하기 무한대는 1이라고 이미 정의했지요.

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

하지만 지금 나온 식에 따르면 이는 2라고 정의가 됩니다.

So, one equals two.

그렇다면 1은 2와 같다는 결론이 나오네요.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

이상하게 들리겠지만, 이 말이 꼭 틀리다고는 할 수 없습니다.

it's just not true in our normal world of numbers.

하지만 우리가 아는 일반적인 수의 체계에서는 틀린 말이지요.

There’s still a way it could be mathematically valid,

수학적으로 이 말이 참일 수 있는 방법이 존재하기는 합니다.

if one, two, and every other number were equal to zero.

1과 2를 비롯한 모든 수가 0과 같다면 그럴 수 있지요.

But having infinity equal to zero

하지만 무한대를 0과 같다고 보는 것은

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

수학자나 다른 사람들에게 궁극적으로 그다지 도움이 안됩니다.

There actually is something called the Riemann sphere

실제로 리만구라고 불리는 것이 있는데

that involves dividing by zero by a different method,

여기서는 다른 방법을 사용해서 0으로 나누기를 합니다.

but that’s a story for another day.

그 얘기는 다음 기회에 다루기로 하죠.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

어쨋든 누구나 아는 방법으로 0으로 나눈다는 것은

doesn’t work out so great.

그다지 쉽게 가능하지는 않습니다.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

그렇다고 해서 우리가 과감하고 실험적으로

and experimenting with breaking mathematical rules

수학적 규칙들을 깨는 것을 그만두어서는 안됩니다.

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

언젠가는 새롭고 즐거운 세계를 열게 될지 모르니까요.