Why can't you divide by zero? - TED-Ed

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TED-Ed


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번역: Won Jang 검토: JY Kang
"신이 0으로 나누기를 하면 그곳에 블랙홀이 생긴다." - 스티븐 라이트
00:07
In the world of math,
0
7785
1519
수학의 세계에서는
00:09
many strange results are possible when we change the rules.
1
9304
4080
규칙을 바꾸었을 때, 예상치 못한 결과들이 일어나곤 합니다.
00:13
But there’s one rule that most of us have been warned not to break:
2
13384
3842
하지만 누구도 어길 수 없는 하나의 규칙이 있지요.
00:17
don’t divide by zero.
3
17226
2379
"0으로 나누지 말라."
00:19
How can the simple combination of an everyday number
4
19605
2979
우리가 매일 사용하는 0이라는 숫자와 간단한 4칙 연산 중 하나가 만나면
00:22
and a basic operation cause such problems?
5
22584
3879
어떤 문제가 발생하는 것일까요?
00:26
Normally, dividing by smaller and smaller numbers
6
26463
3230
일반적으로 어떤 수를 더 작은 수로 나눌수록
00:29
gives you bigger and bigger answers.
7
29693
2628
나오는 값은 더 커집니다.
00:32
Ten divided by two is five,
8
32321
2523
10을 2로 나누면 5가 되고
00:34
by one is ten,
9
34844
1599
1로 나누면 10이 되며
00:36
by one-millionth is 10 million,
10
36443
2579
백만분의 1로 나누면 천만이라는 수가 되죠.
00:39
and so on.
11
39022
958
00:39
So it seems like if you divide by numbers
12
39980
2311
이런 식으로 계속됩니다.
따라서 어떤 수로 나누려고 할 때
00:42
that keep shrinking all the way down to zero,
13
42291
2609
그 수가 계속 작아져 0에 수렴하게 되면
00:44
the answer will grow to the largest thing possible.
14
44900
3161
결과 값은 가장 큰 수에 가깝게 증가한다고 볼 수 있습니다.
00:48
Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?
15
48061
4662
그렇다면 10 나누기 0에 대한 답은 무한대가 아닐까요?
00:52
That may sound plausible.
16
52723
1960
꽤나 그럴싸한 말처럼 보입니다.
00:54
But all we really know is that if we divide 10
17
54683
3050
하지만 우리가 알고 있는 것은
10이라는 수를 0에 가까운 수로 나눌수록
00:57
by a number that tends towards zero,
18
57733
2941
01:00
the answer tends towards infinity.
19
60674
3060
그 답이 무한대로 수렴한다는 것입니다.
01:03
And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero
20
63734
4130
10을 0으로 나눈 값이
01:07
is equal to infinity.
21
67864
2650
무한대와 같다는 뜻은 아니죠.
01:10
Why not?
22
70514
1319
왜 그럴까요?
01:11
Well, let’s take a closer look at what division really means.
23
71833
4389
먼저 나눗셈이 무엇인지 한번 자세히 살펴볼까요?
01:16
Ten divided by two could mean,
24
76222
2352
10 나누기 2는 이렇게 설명할 수 있습니다.
01:18
"How many times must we add two together to make 10,”
25
78574
4097
"10을 만들기 위해서는 2를 몇 번 더해야 되는가,"
01:22
or, “two times what equals 10?”
26
82671
3442
혹은 "2 곱하기 몇이 10인가?"로 바꿀 수 있지요.
01:26
Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,
27
86113
4340
어떤 수로 나눈다는 것은 그 수를 곱하는 것의 반대입니다.
01:30
in the following way:
28
90453
1948
지금부터 설명드리죠.
01:32
if we multiply any number by a given number x,
29
92401
3022
어떤 수에 임의의 수 x를 곱해서 값이 나왔을 때
01:35
we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards
30
95423
4230
이 값에 어떤 수를 곱하면 처음의 수가 나오는지
01:39
to get back to where we started.
31
99653
2633
찾아볼 수 있습니다.
01:42
If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.
32
102286
5058
그런 수가 있다면, 우리는 그것을 x의 역수라고 부릅니다.
01:47
For example, if you multiply three by two to get six,
33
107344
4101
예를 들면 우리가 3을 2로 곱해서 6을 얻었을 때
01:51
you can then multiply by one-half to get back to three.
34
111445
4119
여기에 1/2을 다시 곱하면 처음의 수 3으로 돌아갈 수 있지요.
01:55
So the multiplicative inverse of two is one-half,
35
115564
3830
따라서 2의 역수는 1/2입니다.
01:59
and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.
36
119394
4570
그리고 10의 역수는 1/10이지요.
02:03
As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse
37
123964
5270
여기서 볼 수 있듯이 모든 수와 그 역수의 곱은
02:09
is always one.
38
129234
2030
항상 1이 됩니다.
02:11
If we want to divide by zero,
39
131264
2199
만약 우리가 0으로 나누려고 한다면
02:13
we need to find its multiplicative inverse,
40
133463
2380
우리는 0의 역수를 알아내야 합니다.
02:15
which should be one over zero.
41
135843
3301
이는 1/0이 되겠지요.
02:19
This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.
42
139144
5828
또한 이 수를 0으로 곱하면 1이 나와야 하겠지요.
02:24
But because anything multiplied by zero is still zero,
43
144972
4171
하지만 어떤 수에 0을 곱하면 항상 0이 되므로
02:29
such a number is impossible,
44
149143
2413
이런 수는 존재할 수 없습니다.
02:31
so zero has no multiplicative inverse.
45
151556
3286
따라서 0은 역수를 가질 수 없습니다.
02:34
Does that really settle things, though?
46
154842
2501
이 정도면 더 논란의 여지가 없겠지요?
02:37
After all, mathematicians have broken rules before.
47
157343
3640
그런데 지금까지의 수학자들은 규칙들을 깨기도 했습니다.
02:40
For example, for a long time,
48
160983
1730
예를 들면, 한 동안
02:42
there was no such thing as taking the square root of negative numbers.
49
162713
4061
음수에는 루트를 씌울 수 없다고 생각했지요.
02:46
But then mathematicians defined the square root of negative one
50
166774
4087
하지만 수학자들은 -1에 루트를 씌운 것을
02:50
as a new number called i,
51
170861
2423
새로운 숫자인 i로 정의했습니다.
02:53
opening up a whole new mathematical world of complex numbers.
52
173284
4519
덕분에 완전히 새로운 수학의 세계인 복소수라는 것이 탄생했습니다.
02:57
So if they can do that,
53
177803
1442
그렇다면 이런 식으로 새로운 규칙을 만들어서
02:59
couldn’t we just make up a new rule,
54
179245
1958
03:01
say, that the symbol infinity means one over zero,
55
181203
4061
무한대는 1/0과 같다고 정의하면
03:05
and see what happens?
56
185264
2279
어떤 일이 생기는지 볼까요?
03:07
Let's try it,
57
187543
1050
한번 해봅시다.
03:08
imagining we don’t know anything about infinity already.
58
188593
3130
우리가 무한대에 대해서 아무것도 모른다고 가정해봅시다.
03:11
Based on the definition of a multiplicative inverse,
59
191723
2569
역수의 정의에 따라서
03:14
zero times infinity must be equal to one.
60
194292
4182
0을 무한으로 곱하면 1이 됩니다.
03:18
That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.
61
198474
6056
그렇다면 0 곱하기 무한대 더하기 0 곱하기 무한대는 2가 되어야 겠지요.
03:24
Now, by the distributive property,
62
204530
1957
이제 분배법칙에 따라
03:26
the left side of the equation can be rearranged
63
206487
2901
이 등식의 좌변을 새로 정리해서
03:29
to zero plus zero times infinity.
64
209388
3231
0더하기 0 곱하기 무한대로 바꾸어 봅시다.
03:32
And since zero plus zero is definitely zero,
65
212619
3569
그리고 0 더하기 0은 당연히 0이므로
03:36
that reduces down to zero times infinity.
66
216188
3861
이는 다시 0 곱하기 무한대가 됩니다.
03:40
Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,
67
220049
3668
그런데 우리는 0 곱하기 무한대는 1이라고 이미 정의했지요.
03:43
while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.
68
223717
4636
하지만 지금 나온 식에 따르면 이는 2라고 정의가 됩니다.
03:48
So, one equals two.
69
228353
2885
그렇다면 1은 2와 같다는 결론이 나오네요.
03:51
Oddly enough, that's not necessarily wrong;
70
231238
3226
이상하게 들리겠지만, 이 말이 꼭 틀리다고는 할 수 없습니다.
03:54
it's just not true in our normal world of numbers.
71
234464
3668
하지만 우리가 아는 일반적인 수의 체계에서는 틀린 말이지요.
03:58
There’s still a way it could be mathematically valid,
72
238132
2582
수학적으로 이 말이 참일 수 있는 방법이 존재하기는 합니다.
04:00
if one, two, and every other number were equal to zero.
73
240714
4507
1과 2를 비롯한 모든 수가 0과 같다면 그럴 수 있지요.
04:05
But having infinity equal to zero
74
245221
2493
하지만 무한대를 0과 같다고 보는 것은
04:07
is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.
75
247714
5170
수학자나 다른 사람들에게 궁극적으로 그다지 도움이 안됩니다.
04:12
There actually is something called the Riemann sphere
76
252884
3230
실제로 리만구라고 불리는 것이 있는데
04:16
that involves dividing by zero by a different method,
77
256114
3295
여기서는 다른 방법을 사용해서 0으로 나누기를 합니다.
04:19
but that’s a story for another day.
78
259409
2364
그 얘기는 다음 기회에 다루기로 하죠.
04:21
In the meantime, dividing by zero in the most obvious way
79
261773
4192
어쨋든 누구나 아는 방법으로 0으로 나눈다는 것은
04:25
doesn’t work out so great.
80
265965
1768
그다지 쉽게 가능하지는 않습니다.
04:27
But that shouldn’t stop us from living dangerously
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267733
2941
그렇다고 해서 우리가 과감하고 실험적으로
04:30
and experimenting with breaking mathematical rules
82
270674
2931
수학적 규칙들을 깨는 것을 그만두어서는 안됩니다.
04:33
to see if we can invent fun, new worlds to explore.
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273605
3878
언젠가는 새롭고 즐거운 세계를 열게 될지 모르니까요.
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