Why can't you divide by zero? - TED-Ed

المترجم: Hanan Zakaria المدقّق: Eman Sabry

In the world of math,

في عالم الرياضيات

many strange results are possible when we change the rules.

الكثير من النتائج الغريبة ممكنة عندما نغيِّر القوانين.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

ولكن هناك قاعدة واحدة جميعنا قد تم تحذيرنا من عدم مخالفتها:

don’t divide by zero.

لا تقسم على العدد صفر.

How can the simple combination of an everyday number

كيف يمكن لمزيج بسيط من الأعداد التي نستخدمها كل يوم

and a basic operation cause such problems?

وعملية رياضية بسيطة أن تسبب كل هذه المشكلات؟

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

في العادة، القسمة على أعداد أصغر فأصغر

gives you bigger and bigger answers.

تعطيك نتائج أكبر فأكبر

Ten divided by two is five,

عشرة مقسومة على اثنين تساوي خمسة

by one is ten,

عشرة مقسومة على واحد تساوي عشرة

by one-millionth is 10 million,

عشرة مقسومة على واحد من مليون تساوي 10 مليون

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

وهكذا دواليك.

لذا يبدو كما لو أنك إذا قسمت الأعداد

that keep shrinking all the way down to zero,

التي تستمر بالتقلص حتى تصل إلى صفر،

the answer will grow to the largest thing possible.

ستكبر النتيجة إلى أكبر شيء ممكن.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

إذًا، أليست نتيجة عشرة مقسومة على صفر هي اللانهاية؟

That may sound plausible.

قد يبدو ذلك معقولًا.

But all we really know is that if we divide 10

و لكن كل ما نعرفه هو أنه إذا قسمنا 10

by a number that tends towards zero,

على عدد يقترب من الصفر

the answer tends towards infinity.

فإن النتيجة تميل لأن تكون اللانهاية.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

و ذلك ليس كقولنا قسمة العدد 10 على صفر

is equal to infinity.

تساوي اللانهاية.

Why not?

لم لا؟

Well, let’s take a closer look at what division really means.

حسنًا، لنأخذ نظرة عن قرب على تعريف القسمة.

Ten divided by two could mean,

نعني بقولنا 10 مقسومة على 2:

"How many times must we add two together to make 10,”

"كم من المرات يجب أن نضيف العدد 2 حتى نحصل على الرقم 10؟"

or, “two times what equals 10?”

أو بمعنى آخر: "ما العدد الذي إذا ضربناه في 2 نحصل على 10؟"

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

القسمة على العدد هي العملية العكسية للضرب في هذا العدد،

in the following way:

وبالطريقة التالية:

if we multiply any number by a given number x,

إذا ضربنا أي عدد في عدد "س"

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

يمكننا أن نسأل ما إذا كان هناك عدد جديد يمكننا أن نضرب فيه فيما بعد

to get back to where we started.

لنحصل على العدد الذي بدأنا به.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

إذا وُجد، فسيكون العدد الجديد هو مقلوب العدد "س"

For example, if you multiply three by two to get six,

على سبيل المثال إذا ضربت 3 في 2 للحصول على 6،

you can then multiply by one-half to get back to three.

عندها يمكنك أن تضرب 6 في نصف الواحد لتحصل على العدد 3 مرة أخرى.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

إذًا مقلوب العدد 2 هو نصف الواحد،

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

ومقلوب العدد 10 هو واحد من عشرة.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

و كما لاحظتم، حاصل ضرب أي عدد في مقلوبه

is always one.

هو دائماً واحد.

If we want to divide by zero,

إذا أردنا أن نقسم على الصفر،

we need to find its multiplicative inverse,

يجب أن نجد مقلوبه،

which should be one over zero.

والذي يجب أن يكون واحد على صفر.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

يجب أن يكون عددًا عند ضربه في الصفر تكون النتيجة العدد واحد.

But because anything multiplied by zero is still zero,

لكن ولأن أي عدد نضربه في صفر يعطينا دائمًا صفرًا،

such a number is impossible,

فإمكانية وجود عدد كهذا شيء مستحيل،

so zero has no multiplicative inverse.

لهذا فإن الصفر لا يتوفر على مقلوب.

Does that really settle things, though?

ومع ذلك هل يَحُلُّ هذا كل شيء؟

After all, mathematicians have broken rules before.

ففي النهاية، لقد خالف علماء الرياضيات القواعد من قبل.

For example, for a long time,

فمثلًا وعلى مدى عقود من الزمن،

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

لم يكن هناك شيء اسمه الجذر المربع للأعداد السالبة.

But then mathematicians defined the square root of negative one

ولكن عندها عرَّف العلماء الجذر المربع للعدد السالب

as a new number called i,

كعدد جديد يسمى "i"،

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

وقد فتح هذا الباب لعالم جديد من الرياضيات للأرقام المعقدة.

So if they can do that,

لذا إذا استطاعوا هم فعل ذلك،

couldn’t we just make up a new rule,

لماذا لا يمكننا نحن أيضًا وضع قاعدة جديدة؟

say, that the symbol infinity means one over zero,

لنقل أن رمز اللانهاية يعني واحد على صفر،

and see what happens?

ونشاهد ما سيحدث؟

Let's try it,

لنحاول أن نقوم بذلك،

imagining we don’t know anything about infinity already.

تخيلوا أننا لا نعرف أي شيء عن اللانهاية.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

بناءً على تعريف مقلوب العدد،

zero times infinity must be equal to one.

فإن صفر مضروب في اللانهاية يجب أن يعطينا واحد.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

هذا يعني أن صفر مضروب في اللانهاية زائد صفر في اللانهاية يجب أن يساوي اثنين.

Now, by the distributive property,

الآن ومن خلال خاصية التوزيع،

the left side of the equation can be rearranged

يمكن إعادة ترتيب الجزء الأيسر من المعادلة

to zero plus zero times infinity.

لكي يصبح صفر زائد صفر مضروب في اللانهاية.

And since zero plus zero is definitely zero,

وبما أن صفر زائد صفر يساوي صفر بالتأكيد،

that reduces down to zero times infinity.

يمكن اختصار ذلك إلى صفر في اللانهاية.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

ومع الأسف، نحن قد حددنا هذا كمساوٍ لواحد،

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

في حين أن الجزء الآخر من المعادلة لا يزال يساوي 2.

So, one equals two.

إذًا، واحد يساوي اثنان.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

غريبٌ بعض الشيء، ولكنه ليس خطأ بالضرورة،

it's just not true in our normal world of numbers.

إنه فقط غير صحيح في عالمنا الاعتيادي من الأعداد.

There’s still a way it could be mathematically valid,

لا تزال هناك طريقة يمكن أن يكون بها هذا صحيحًا رياضيًا.

if one, two, and every other number were equal to zero.

إذا كان واحد واثنان وثلاثة وكل الأعداد الأخرى مساوية للصفر.

But having infinity equal to zero

ولكن أن تكون اللانهاية مساوية للصفر

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

هو شيء غير مُجدٍ لعلماء الرياضيات ولأي شخص آخر.

There actually is something called the Riemann sphere

في الواقع هناك شيء يدعى كرة ريمان

that involves dividing by zero by a different method,

و الذي يتضمن القسمة على صفر بأسلوب مختلف،

but that’s a story for another day.

ولكن هذه قصة سنرويها في حلقة أخرى.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

في الوقت الحالي، من الواضح أن القسمة على العدد صفر

doesn’t work out so great.

ليست فعالة كثيرًا.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

لكن لا يجب أن يثبط ذلك من عزيمتنا

and experimenting with breaking mathematical rules

ومحاولة كسر القواعد الرياضية

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

لمعرفة ما إذا كان بمقدورنا اختراع عوالم جديدة لنستكشفها.