Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Fordító: Maria Ruzsane Cseresnyes Lektor: Reka Lorinczy

In the world of math,

A matematika világában

many strange results are possible when we change the rules.

a szabályok megváltoztatásával sokszor furcsa eredményeket kapunk.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

De van egy szabály, amelynek áthágásától legtöbbünket óvtak:

don’t divide by zero.

nem szabad nullával osztani.

How can the simple combination of an everyday number

Hogyan okozhat egy közönséges szám

and a basic operation cause such problems?

és egy alapművelet egyszerű kombinációja ekkora problémát?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Normál esetben minél kisebb számmal osztunk el valamit,

gives you bigger and bigger answers.

annál nagyobb lesz az eredmény.

Ten divided by two is five,

Tízet kettővel osztva ötöt kapunk,

by one is ten,

eggyel osztva tízet,

by one-millionth is 10 million,

egymilliomoddal pedig 10 milliót,

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

és így tovább.

Úgy tűnik hát, hogy ha olyan számokkal osztunk,

that keep shrinking all the way down to zero,

amelyek egyre jobban közelítenek a nullához,

the answer will grow to the largest thing possible.

az eredmény minden lehetséges határon túl nő.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

Akkor hát, ha 10-et nullával osztjuk el, vajon nem a végtelent kapjuk eredményül?

That may sound plausible.

Ez olyan értelmesen hangzik.

But all we really know is that if we divide 10

Viszont mindössze azt tudjuk, hogy ha 10-et nullához tartó

by a number that tends towards zero,

számokkal osztjuk el,

the answer tends towards infinity.

az eredmény végtelenhez fog tartani.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

De ez nem ugyanaz, mintha azt mondanánk, hogy 10-et nullával osztva

is equal to infinity.

az eredmény végtelen.

Why not?

Miért nem?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Nézzük csak, mit is jelent valójában az osztás!

Ten divided by two could mean,

Tízet kettővel osztva azt jelentheti,

"How many times must we add two together to make 10,”

"Hányszor kell kettőt összeadni, hogy az eredmény 10 legyen",

or, “two times what equals 10?”

vagy "kétszer mennyi egyenlő tízzel?"

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Egy számmal való osztás alapvetően a vele való szorzás inverze,

in the following way:

a következő értelemben:

if we multiply any number by a given number x,

Ha megszorzunk egy bármilyen számot egy adott x-szel,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

megkérdezhetjük, hogy van-e olyan szám, amellyel az eredményt megszorozva

to get back to where we started.

visszakapjuk a kiinduló értéket.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Ha van, ilyen, ezt az új számot x multiplikatív inverzének nevezzük.

For example, if you multiply three by two to get six,

Például, ha hármat kettővel megszorozzuk, az eredmény hat,

you can then multiply by one-half to get back to three.

ezt egyketteddel megszorozva visszakapjuk a hármat.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Tehát a kettő multiplikatív inverze egyketted.

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

A tíz multiplikatív inverze egytized.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Ahogy már észrevehették: egy számnak és multiplikatív inverzének a szorzata

is always one.

mindig egy.

If we want to divide by zero,

Ha nullával akarunk osztani,

we need to find its multiplicative inverse,

meg kell találjuk a multiplikatív inverzét,

which should be one over zero.

ami egy per nulla kéne legyen.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Ennek olyan számnak kéne lennie, amit nullával megszorozva egyet kapunk.

But because anything multiplied by zero is still zero,

De nullával megszorozva bármit még mindig nullát kapunk,

such a number is impossible,

ilyen szám tehát nincsen,

so zero has no multiplicative inverse.

így a nullának nincs multiplikatív inverze.

Does that really settle things, though?

Vajon tényleg ezen múlik a dolog?

After all, mathematicians have broken rules before.

A matematikusok már korábban is hágtak át szabályokat ugyanis.

For example, for a long time,

Például, hosszú időn keresztül

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

nem volt négyzetgyöke a negatív számoknak.

But then mathematicians defined the square root of negative one

De aztán a matematikusok definiálták a mínusz egy négyzetgyökét,

as a new number called i,

és i-vel jelölték,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

ezzel megnyílt a matematika egy egészen új világa – a komplex számoké.

So if they can do that,

Ha tehát ezt megtehették,

couldn’t we just make up a new rule,

nem állíthatnánk fel vajon egy új szabályt,

say, that the symbol infinity means one over zero,

mondjuk a végtelen szimbóluma jelentené az egy per nullát,

and see what happens?

és megnéznénk, mi történik?

Let's try it,

Próbáljuk ki,

imagining we don’t know anything about infinity already.

képzeljük el, hogy nem tudunk semmit a végtelenről.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

A multiplikatív inverz definíciója alapján

zero times infinity must be equal to one.

a végtelen nullaszorosa egy.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

Eszerint nullaszor végtelen meg nullaszor végtelen kettő kell, hogy legyen.

Now, by the distributive property,

Nos, a disztributiv tulajdonságot használva

the left side of the equation can be rearranged

az egyenlőség bal oldala átrendezhető így:

to zero plus zero times infinity.

nulla plusz nulla eredménye szer végtelen.

And since zero plus zero is definitely zero,

Mivel a nulla plusz nulla egyenlő nullával,

that reduces down to zero times infinity.

ez nullaszor végtelen lesz.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

Szerencsétlenségünkre, ezt már egyként definiáltuk,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

míg az egyenlőség másik oldala viszont kettő.

So, one equals two.

Tehát, egy egyenlő kettővel.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Furcsa, de ez még nem szükségképp rossz,

it's just not true in our normal world of numbers.

csak nem igaz megszokott számaink közt.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Még mindig lehetne matematikailag érvényes,

if one, two, and every other number were equal to zero.

ha az egy, a kettő, és minden szám nullával lenne egyenlő.

But having infinity equal to zero

De az, hogy a végtelen egyenlő nullával,

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

végül nem igazán jó semmire a matematikusoknak, és másnak sem.

There actually is something called the Riemann sphere

Valóban van valami, amit Riemann-gömbnek neveznek,

that involves dividing by zero by a different method,

ezen a nullával való osztás másképp történik,

but that’s a story for another day.

de ezt a történetet hagyjuk máskorra.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

Addig is, a nullával való osztás a legnyilvánvalóbb módon

doesn’t work out so great.

nem nagyon működik.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

De ez nem kell, hogy visszatartson attól, hogy veszélyes módon éljünk,

and experimenting with breaking mathematical rules

és kísérletezzünk a matematikai szabályok áthágásával,

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

hogy vajon ki tudunk-e találni valami vicces, új világot, ami felfedezésre vár.