Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Translator: sadegh zabihi Reviewer: Mary Jane

In the world of math,

در دنیای ریاضیات

many strange results are possible when we change the rules.

وقتی قوانین را تغییر می‌دهیم، نتایج عجیب زیادی ممکن می‌شوند.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

اما یک قانون هست که به همه ما اخطار داده شده که زیر پا نگذاریم:

don’t divide by zero.

به صفر تقسیم نکنید.

How can the simple combination of an everyday number

چگونه ترکیب ساده عددی معمولی

and a basic operation cause such problems?

و یک عمل پایه ریاضی چنین مشکلی به وجود آورده است؟

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

معمولا تقسیم کردن بر عددهای کوچک و کوچک‌تر

gives you bigger and bigger answers.

جواب‌های بزرگ و بزرگ‌تر به شما می‌دهد.

Ten divided by two is five,

۱۰ تقسیم بر ۲ می‌شود ۵،

by one is ten,

تقسیم بر ۱ می‌شود ۱۰،

by one-millionth is 10 million,

تقسیم بر یک میلیونیوم می‌شود ۱۰ میلیون،

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

و به همین ترتیب.

پس به نظر می‌رسد که اگر به عددهایی تقسیم کنید

that keep shrinking all the way down to zero,

که تا صفر کوچکتر و کوچکتر می‌شوند،

the answer will grow to the largest thing possible.

جواب تا بزرگترین چیز ممکن بزرگ می‌شود.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

پس، جواب تقسیم ۱۰ بر صفر در واقع بی‌نهایت نیست؟

That may sound plausible.

ممکن است پذیرفتنی به نظر برسد.

But all we really know is that if we divide 10

اما آنچه واقعا می‌دانیم این است که وقتی ۱۰ را

by a number that tends towards zero,

به عددی که به صفر میل می‌کند تقسیم کنیم،

the answer tends towards infinity.

جواب به بی‌نهایت میل می‌کند.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

و این به آن معنا نیست که اگر ۱۰ را به صفر تقسیم کنیم

is equal to infinity.

برابر می‌شود با بی‌نهایت.

Why not?

چرا؟

Well, let’s take a closer look at what division really means.

خب بیایید ببینیم تقسیم واقعا یعنی چه.

Ten divided by two could mean,

۱۰ تقسیم بر ۲ می‌تواند به این معنا باشد،

"How many times must we add two together to make 10,”

«چند بار باید دو را با خودش جمع کنیم تا به ۱۰ برسیم،»

or, “two times what equals 10?”

یا، «دو ضرب در چند می‌شود ۱۰؟»

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

اصولا، تقسیم کردن بر یک عدد همان عکس ضرب کردن در آن عدد است،

in the following way:

به این صورت:

if we multiply any number by a given number x,

اگر یک عدد دلخواه را در x ضرب کنیم،

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

می‌توانیم بپرسیم آیا عدد جدیدی هست که نتیجه را بر آن تقسیم کنیم

to get back to where we started.

و به جایی که شروع کردیم برگردیم.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

اگر هست، عدد جدید معکوس ضربی x نامیده می‌شود.

For example, if you multiply three by two to get six,

به طور مثال، اگر سه را در دو ضرب کنید تا به شش برسید،

you can then multiply by one-half to get back to three.

آنگاه می‌توانید به یک دوم تقسیم کنید تا به سه برسید.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

پس معکوس ضربی دو، یک دوم است،

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

و معکوس ضربی ۱۰، یک دهم.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

همان طور که ممکن است متوجه شده باشید، ضرب هر عدد در معکوس ضربی آن

is always one.

همیشه یک است.

If we want to divide by zero,

اگر بخواهیم به صفر تقسیم کنیم،

we need to find its multiplicative inverse,

باید معکوس ضربی آن را پیدا کنیم،

which should be one over zero.

که باید یک به روی صفر باشد.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

این باید عددی باشد که ضرب آن در صفر بشود یک.

But because anything multiplied by zero is still zero,

اما از آنجا که ضرب هر چیز در صفر می‌شود صفر،

such a number is impossible,

چنین عددی غیرممکن است،

so zero has no multiplicative inverse.

پس صفر عکس ضربی ندارد.

Does that really settle things, though?

اما آیا این واقعا همه چیز را مشخص می‌کند؟

After all, mathematicians have broken rules before.

هر چه باشد، ریاضیدانان قبلا هم قوانین را زیر پا گذاشته‌اند.

For example, for a long time,

به طور مثال، برای مدتی طولانی،

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

گرفتن ریشه دوم از اعداد منفی معنی نداشت.

But then mathematicians defined the square root of negative one

اما بعد ریاضیدانان جذر منفی یک را

as a new number called i,

به عنوان عدد جدیدی به نام i تعریف کردند،

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

و دری به دنیای تازه اعداد مختلط گشوده شد.

So if they can do that,

پس اگر آنها توانستند،

couldn’t we just make up a new rule,

نمی‌توانیم ما هم قانون جدیدی ایجاد کنیم،

say, that the symbol infinity means one over zero,

که مثلا، علامت بی‌نهایت به معنای یک به روی صفر باشد،

and see what happens?

و ببینیم چه اتفاقی می‌افتد؟

Let's try it,

بیایید امتحان کنیم،

imagining we don’t know anything about infinity already.

و تصور کنیم که هیچ چیز درباره بی‌نهایت نمی‌دانیم.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

بر اساس تعریف معکوس ضربی،

zero times infinity must be equal to one.

صفر ضرب در بی‌نهایت باید برابر با یک شود.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

یعنی صفر ضرب در بی‌نهایت به علاوه صفر ضرب در بی‌نهایت باید بشود دو.

Now, by the distributive property,

حال، با توجه به خاصیت توزیعی،

the left side of the equation can be rearranged

سمت چپ معادله می‌تواند به این صورت نوشته شود

to zero plus zero times infinity.

که صفر به علاوه صفر ضرب در بی‌نهایت.

And since zero plus zero is definitely zero,

و از آنجا که صفر به علاوه صفر قطعا می‌شود صفر،

that reduces down to zero times infinity.

این دوباره می‌شود صفر ضرب در بی‌نهایت.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

متاسفانه، قبلا این عبارت را مساوی یک دانسته‌ایم،

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

در حالی که سمت دیگر معادله هنوز به ما می‌گوید که این مساوی با دو است.

So, one equals two.

پس، یک مساوی است با دو.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

خیلی غریب است، اما این لزوماً اشتباه نیست:

it's just not true in our normal world of numbers.

این فقط در دنیای طبیعی اعداد ما صدق نمی‌کند.

There’s still a way it could be mathematically valid,

هنوز راهی هست که بتواند از نظر ریاضی معتبر باشد،

if one, two, and every other number were equal to zero.

اگر یک، دو، و هر عدد دیگری برابر با صفر باشد.

But having infinity equal to zero

اما اینکه بی‌نهایت برابر با صفر باشد

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

چنان برای ریاضی‌دانان یا هر کس دیگری مفید نیست.

There actually is something called the Riemann sphere

در واقع چیزی هست به نام کره ریمان

that involves dividing by zero by a different method,

که شامل تقسیم بر صفر به روشی دیگر است،

but that’s a story for another day.

اما این بماند برای یک روز دیگر.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

در همین حال، تقسیم بر صفر به دم‌دست‌ترین روش

doesn’t work out so great.

چندان مفید به نظر نمی‌رسد.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

اما این نباید جلوی خطر کردن ما را بگیرد

and experimenting with breaking mathematical rules

و ما را از تجربه کردن و شکستن قوانین ریاضی بازدارد

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

شاید توانستیم جهان‌های تازه و جالب برای کاوش بیافرینیم.