Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Μετάφραση: Christos Selemeles Επιμέλεια: Lucas Kaimaras

In the world of math,

Στον κόσμο των Μαθηματικών

many strange results are possible when we change the rules.

είναι δυνατά πολλά περίεργα αποτελέσματα, αν αλλάξουμε τους κανόνες.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Αλλά υπάρχει ένας κανόνας τον οποίον έχουμε προειδοποιηθεί να μην παραβιάσουμε:

don’t divide by zero.

δεν διαιρούμε με το μηδέν.

How can the simple combination of an everyday number

Πώς είναι δυνατό ο συνδυασμός ενός καθημερινού αριθμού

and a basic operation cause such problems?

και μιας βασικής πράξης να δημιουργεί τόσα προβλήματα;

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Κανονικά, η διαίρεση με όλο και μικρότερους αριθμούς,

gives you bigger and bigger answers.

σας δίνει όλο και μεγαλύτερο αποτέλεσμα.

Ten divided by two is five,

Δέκα διά δύο δίνει πέντε,

by one is ten,

διά ένα δίνει δέκα,

by one-millionth is 10 million,

διά 0,000001 δίνει 10.000.000

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

και ούτω καθεξής.

Έτσι, φαίνεται ότι καθώς διαιρείτε με αριθμούς

that keep shrinking all the way down to zero,

που μικραίνουν προς το μηδέν,

the answer will grow to the largest thing possible.

το αποτέλεσμα θα μεγαλώνει προς τον μεγαλύτερο δυνατό αριθμό.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

Μα τότε το αποτέλεσμα του 10 διά μηδέν δεν θα έπρεπε να είναι άπειρο;

That may sound plausible.

Ακούγεται λογικό,

But all we really know is that if we divide 10

αλλά το μόνο που ξέρουμε είναι ότι αν διαιρέσουμε τον 10

by a number that tends towards zero,

με έναν αριθμό που «τείνει» στο μηδέν,

the answer tends towards infinity.

τότε το αποτέλεσμα «τείνει» στο άπειρο.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

Και αυτό δεν είναι το ίδιο με το να λέμε ότι 10 διά μηδέν

is equal to infinity.

«ισούται» με άπειρο.

Why not?

Γιατί όχι;

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Ας δούμε λίγο πιο αναλυτικά τι πραγματικά σημαίνει η διαίρεση.

Ten divided by two could mean,

Δέκα διά δύο μπορεί να σημαίνει,

"How many times must we add two together to make 10,”

«Πόσες φορές πρέπει να προσθέσω τον αριθμό δύο για να πάρω 10;»

or, “two times what equals 10?”

ή «δύο επί τι ισούται με 10;»

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Η διαίρεση με έναν αριθμό είναι στην ουσία το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού με αυτόν

in the following way:

με την εξής έννοια:

if we multiply any number by a given number x,

Αν πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό με έναν δεδομένο αριθμό χ,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

μπορούμε να ρωτήσουμε αν υπάρχει κάποιος άλλος αριθμός με τον οποίο

αν πολλαπλασιάσουμε το αποτέλεσμα, θα πάρουμε τον αρχικό αριθμό.

to get back to where we started.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

Αν υπάρχει, ο νέος αριθμός ονομάζεται «πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του χ».

For example, if you multiply three by two to get six,

Για παράδειγμα, αν πολλαπλασιάσουμε τον τρία με τον δύο, οπότε παίρνουμε έξι,

you can then multiply by one-half to get back to three.

μπορείτε μετά να πολλαπλασιάστε με τον 1/2 για πάρετε τρία.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Άρα ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του δύο είναι ο 1/2

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

και ο πολλαπλασιαστικός αντίστροφος του 10 είναι ο 1/10.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Ίσως προσέξατε, το γινόμενο ενός αριθμού με τον πολλαπλασιαστικό του αντίστροφο

is always one.

ισούται πάντα με ένα.

If we want to divide by zero,

Αν θέλουμε να διαιρέσουμε με το μηδέν,

we need to find its multiplicative inverse,

πρέπει να βρούμε τον δικό του πολλαπλασιαστικό αντίστροφο,

which should be one over zero.

που θα έπρεπε να είναι 1/0.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Αυτός είναι ένας αριθμός που, αν πολλαπλασιαστεί με μηδέν θα μας δώσει ένα.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Αλλά επειδή ο πολλαπλασιασμός οποιουδήποτε αριθμού με μηδέν κάνει μηδέν,

such a number is impossible,

ένας τέτοιος αριθμός δεν υπάρχει,

so zero has no multiplicative inverse.

άρα ο μηδέν δεν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο.

Does that really settle things, though?

Όμως τακτοποιήθηκε οριστικά το ζήτημα;

After all, mathematicians have broken rules before.

Άλλωστε, οι μαθηματικοί έχουν παραβιάσει τους κανόνες στο παρελθόν.

For example, for a long time,

Για παράδειγμα, για πολύ καιρό,

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

δεν υπήρχε η τετραγωνική ρίζα αρνητικών αριθμών.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Αλλά κάποτε οι μαθηματικοί όρισαν την τετραγωνική ρίζα του -1

as a new number called i,

ως έναν νέο αριθμό, που ονομάζεται i,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

δημιουργώντας τον εντελώς νέο μαθηματικό κόσμο των μιγαδικών αριθμών.

So if they can do that,

Άρα, αν μπορούν να κάνουν κάτι τέτοιο,

couldn’t we just make up a new rule,

δεν θα μπορούσαμε απλώς να φτιάξουμε έναν νέο κανόνα,

say, that the symbol infinity means one over zero,

ας πούμε, ότι το σύμβολο του απείρου σημαίνει 1/0,

and see what happens?

και να δούμε τι συμβαίνει;

Let's try it,

Ας το δοκιμάσουμε,

imagining we don’t know anything about infinity already.

προσποιούμενοι ότι δεν γνωρίζουμε τίποτα για το άπειρο.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

Με βάση τον ορισμό του πολλαπλασιαστικού αντιστρόφου,

zero times infinity must be equal to one.

Μηδέν επί άπειρο πρέπει να ισούται με ένα.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

Αυτό σημαίνει ότι μηδέν επί άπειρο συν μηδέν πρέπει να ισούται με δύο.

Now, by the distributive property,

Από την επιμεριστική ιδιότητα,

the left side of the equation can be rearranged

το αριστερό μέλος της εξίσωσης μπορεί να τροποποιηθεί

to zero plus zero times infinity.

σε μηδέν συν μηδέν επί άπειρο.

And since zero plus zero is definitely zero,

Και αφού μηδέν συν μηδέν είναι σίγουρα μηδέν,

that reduces down to zero times infinity.

αυτό ανάγεται σε μηδέν επί άπειρο.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

Δυστυχώς, έχουμε ήδη ορίσει ότι αυτό ισούται με ένα,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

ενώ το άλλο μέλος της εξίσωσης μάς λέει ότι ισούται με δύο.

So, one equals two.

Άρα ένα ίσον δύο.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Όλως περιέργως, αυτό δεν είναι απαραίτητα λάθος.

it's just not true in our normal world of numbers.

Απλά δεν είναι σωστό στον συνηθισμένο κόσμο των αριθμών.

There’s still a way it could be mathematically valid,

Υπάρχει όμως ένας τρόπος αυτό να είναι μαθηματικώς έγκυρο,

if one, two, and every other number were equal to zero.

αν οι ένα, δύο και κάθε άλλος αριθμός ισούνταν με μηδέν.

But having infinity equal to zero

Αλλά το να είναι το άπειρο ίσο με μηδέν,

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

τελικά δεν είναι και πολύ χρήσιμο στους μαθηματικούς ή σε οποιονδήποτε.

There actually is something called the Riemann sphere

Στην πραγματικότητα υπάρχει κάτι που ονομάζεται σφαίρα του Ρίμαν,

that involves dividing by zero by a different method,

που περιλαμβάνει διαίρεση με τον μηδέν με μια διαφορετική μέθοδο,

but that’s a story for another day.

αλλά αυτό είναι ιστορία για κάποια άλλη ημέρα.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

Στο μεταξύ, η διαίρεση με το μηδέν με τον πιο προφανή τρόπο,

doesn’t work out so great.

δεν δουλεύει και τόσο καλά.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Αλλά αυτό δεν θα πρέπει να μας αποτρέπει από το να ζούμε επικίνδυνα

and experimenting with breaking mathematical rules

και να πειραματιζόμαστε παραβιάζοντας τους μαθηματικούς κανόνες

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

για να βλέπουμε αν μπορούμε να εφεύρουμε ευχάριστους, νέους ανεξερεύνητους κόσμους.