Why can't you divide by zero? - TED-Ed

Traducteur: Elisabeth Buffard Relecteur: Claire Ghyselen

In the world of math,

Dans le monde des mathématiques,

many strange results are possible when we change the rules.

beaucoup de résultats étranges sont possibles quand on change les règles.

But there’s one rule that most of us have been warned not to break:

Mais la plupart d'entre nous ont été avertis de ne pas en enfreindre une :

don’t divide by zero.

ne pas diviser par zéro.

How can the simple combination of an everyday number

Comment la combinaison simple d'un nombre quotidien

and a basic operation cause such problems?

et d'une opération de base peut causer de tels problèmes ?

Normally, dividing by smaller and smaller numbers

Normalement, en divisant par des nombres de plus en plus petits,

gives you bigger and bigger answers.

on obtient des réponses de plus en plus grandes.

Ten divided by two is five,

Dix divisé par deux égalent cinq,

by one is ten,

par un égalent dix,

by one-millionth is 10 million,

par un millionième égalent 10 millions,

and so on.

So it seems like if you divide by numbers

etc.

Donc, il semble que si on divise par des nombres

that keep shrinking all the way down to zero,

qui continuent à diminuer jusqu'à zéro,

the answer will grow to the largest thing possible.

la réponse va augmenter jusqu'à la plus grande possible.

Then, isn’t the answer to 10 divided by zero actually infinity?

Alors, la réponse à 10 divisé par zéro n'est-elle pas en fait l'infini ?

That may sound plausible.

Cela peut sembler plausible.

But all we really know is that if we divide 10

Mais tout ce qu'on sait vraiment, c'est que si on divise 10

by a number that tends towards zero,

par un nombre qui tend vers zéro,

the answer tends towards infinity.

la réponse tend vers l'infini.

And that’s not the same thing as saying that 10 divided by zero

Et ce n'est pas la même chose que de dire que 10 divisé par zéro

is equal to infinity.

est égal à l'infini.

Why not?

Pourquoi non ?

Well, let’s take a closer look at what division really means.

Eh bien, examinons de plus près ce que signifie réellement la division.

Ten divided by two could mean,

Dix divisé par deux pourrait signifier :

"How many times must we add two together to make 10,”

« Combien de fois doit-on additionner deux ensemble pour en faire 10 »

or, “two times what equals 10?”

ou, « deux fois quoi égalent 10 ? »

Dividing by a number is essentially the reverse of multiplying by it,

Diviser par un nombre est essentiellement l'inverse de multiplier par lui,

in the following way:

de la manière suivante :

if we multiply any number by a given number x,

si l'on multiplie n'importe quel nombre par un nombre donné x,

we can ask if there’s a new number we can multiply by afterwards

on peut se demander s'il y a un nouveau nombre

par lequel on peut multiplier ensuite

to get back to where we started.

pour revenir à l'endroit d'où on est parti.

If there is, the new number is called the multiplicative inverse of x.

S'il y en a un, on dit que le nouveau nombre est l'inverse multiplicatif de x.

For example, if you multiply three by two to get six,

Par exemple, si vous multipliez trois par deux pour obtenir six,

you can then multiply by one-half to get back to three.

vous pouvez ensuite multiplier par un demi pour revenir à trois.

So the multiplicative inverse of two is one-half,

Ainsi, l'inverse multiplicatif de deux est un demi,

and the multiplicative inverse of 10 is one-tenth.

et l'inverse multiplicatif de 10 est un dixième.

As you might notice, the product of any number and its multiplicative inverse

Comme vous pouvez le remarquer, le produit de n'importe quel nombre

et son inverse multiplicatif est toujours un.

is always one.

If we want to divide by zero,

Si on veut diviser par zéro,

we need to find its multiplicative inverse,

on doit trouver son inverse multiplicatif,

which should be one over zero.

ce qui devrait être un sur zéro.

This would have to be such a number that multiplying it by zero would give one.

Ce devrait être un nombre tel que le multiplier par zéro donnerait un.

But because anything multiplied by zero is still zero,

Mais parce que tout ce qui est multiplié par zéro est toujours zéro,

such a number is impossible,

un tel nombre est impossible,

so zero has no multiplicative inverse.

donc zéro n'a pas d'inverse multiplicatif.

Does that really settle things, though?

Cela règle-t-il vraiment la question ?

After all, mathematicians have broken rules before.

Après tout, les mathématiciens ont déjà enfreint les règles.

For example, for a long time,

Par exemple, pendant longtemps,

there was no such thing as taking the square root of negative numbers.

il n'y avait pas de racine carrée des nombres négatifs.

But then mathematicians defined the square root of negative one

Mais alors les mathématiciens ont défini la racine carrée d'un négatif

as a new number called i,

comme un nouveau nombre appelé i,

opening up a whole new mathematical world of complex numbers.

ce qui a ouvert un tout nouveau monde mathématique de nombres complexes.

So if they can do that,

Donc, s'ils peuvent le faire,

couldn’t we just make up a new rule,

ne pourrait-on pas créer une nouvelle règle,

say, that the symbol infinity means one over zero,

et dire que le symbole de l'infini signifie un sur zéro,

and see what happens?

et voir ce qu'il se passe ?

Let's try it,

Essayons,

imagining we don’t know anything about infinity already.

en imaginant que nous ne savons rien de l'infini.

Based on the definition of a multiplicative inverse,

D'après la définition d'un inverse multiplicatif,

zero times infinity must be equal to one.

zéro fois l'infini doit être égal à un.

That means zero times infinity plus zero times infinity should equal two.

Ce qui signifie que zéro fois l'infini

plus zéro fois l'infini devrait être égal à deux.

Now, by the distributive property,

Maintenant, par la propriété distributive,

the left side of the equation can be rearranged

on peut réarranger le côté gauche de l'équation

to zero plus zero times infinity.

en zéro plus zéro fois l'infini.

And since zero plus zero is definitely zero,

Et puisque zéro plus zéro est une fois pour toutes zéro,

that reduces down to zero times infinity.

cela se réduit à zéro fois l'infini.

Unfortunately, we’ve already defined this as equal to one,

Malheureusement, nous avons déjà défini cela comme égal à un,

while the other side of the equation is still telling us it’s equal to two.

alors que l'autre côté de l'équation nous dit toujours qu'il est égal à deux.

So, one equals two.

Donc, un est égal à deux.

Oddly enough, that's not necessarily wrong;

Curieusement, ce n'est pas nécessairement faux ;

it's just not true in our normal world of numbers.

ce n'est tout simplement pas vrai dans notre monde normal de nombres.

There’s still a way it could be mathematically valid,

On peut toujours faire que ce soit mathématiquement valide,

if one, two, and every other number were equal to zero.

si un, deux et tous les autres nombres étaient égaux à zéro.

But having infinity equal to zero

Mais avoir l'infini égal à zéro

is ultimately not all that useful to mathematicians, or anyone else.

n'est finalement pas très utile aux mathématiciens ou à quiconque.

There actually is something called the Riemann sphere

Il y a en fait quelque chose, la sphère de Riemann,

that involves dividing by zero by a different method,

qui implique de diviser par zéro suivant une méthode différente,

but that’s a story for another day.

mais c'est une histoire pour un autre jour.

In the meantime, dividing by zero in the most obvious way

En attendant, diviser par zéro de la manière la plus évidente

doesn’t work out so great.

ne marche pas très bien.

But that shouldn’t stop us from living dangerously

Mais ça ne devrait pas nous empêcher de vivre dangereusement

and experimenting with breaking mathematical rules

et d'expérimenter d'enfreindre les règles mathématiques

to see if we can invent fun, new worlds to explore.

pour voir si on peut inventer de nouveaux mondes à explorer.