The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Translator: Sanntint Tint Reviewer: Myo Aung

Consider the following sentence: “This statement is false.”

အောက်ပါ ဝါကျကို စဉ်းစားကြည့်ပါ။ “ဤအဆိုသည် မှား၏။”

Is that true?

“ဒါဟာ မှန်လား။”

If so, that would make this statement false.

ဒီလိုဆို ဒါက အဆိုကို မှားစေမှာပေါ့။

But if it’s false, then the statement is true.

ဒါပေမဲ့ ဒါဟာ မှားတယ်ဆိုရင် အဆိုက မှန်တာပေါ့။

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

၎င်းဘာသာ တိုက်ရိုက် ရည်ညွှန်းရင်း ဒီဝါကျဟာ ဖြေရှင်းမရတဲ့ ဝိရောဓိတစ်ခုကို ဖန်တီးတယ်။

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

ဒါက မှန်လည်း မမှန်၊ မှားလည်း မမှားရင် ဒါက ဘာလဲ။

This question might seem like a silly thought experiment.

ဒီမေးခွန်းက ပေါက်တတ်ကရ အတွေးအခေါ် စမ်းသပ်မှုတစ်ခုလို ထင်ရတယ်။

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

ဒါပေမဲ့ ၂၀ ရာစု အစောပိုင်းမှာ ၎င်းက ဩစထရီးယန်း ယုတ္တိဗေဒပညာရှင် Kurt Gödel ကို

to a discovery that would change mathematics forever.

သင်္ချာပညာကို ထာဝရ ပြောင်းလဲသွားစေမယ့် ရှာဖွေမှုတစ်ခုဆီ ခေါ်သွားတယ်။

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

Gödel ရဲ့ ရှာဖွေမှုက သင်္ချာဆိုင်ရာ သက်သေပြချက်တွေရဲ့အကန့်အသတ်တွေနဲ့ ဆိုင်တယ်။

A proof is a logical argument that demonstrates

သက်သေပြချက်တစ်ခုဟာ ကိန်းတွေအကြောင်း အဆိုပြုချက်တစ်ခုက ဘာကြောင့်

why a statement about numbers is true.

မှန်တာကို ထင်ရှားစေတဲ့ ယုတ္တိကျတဲ့ အကြောင်းပြချက်ပါ။

The building blocks of these arguments are called axioms—

အကြောင်းပြချက်တွေရဲ့ အခြေခံအုပ်ချပ်တွေကို နဂိုမှန်အဆိုတွေလို့ ခေါ်တယ်။

undeniable statements about the numbers involved.

ပါဝင်တဲ့ ကိန်းတွေနဲ့အကြောင်း မငြင်းပယ်နိုင်တဲ့ အဆိုတွေပါ။

Every system built on mathematics,

အရှုပ်ထွေးဆုံး သက်သေပြချက်ကနေ

from the most complex proof to basic arithmetic,

အခြေခံ ဂဏန်းသင်္ချာအထိ သင်္ချာ အပေါ် ဆောက်ထားတဲ့ စနစ်တိုင်းကို

is constructed from axioms.

နဂိုမှန်အဆိုတွေကနေ တည်ဆောက်ထားတယ်။

And if a statement about numbers is true,

ကိန်းတွေအကြောင်း အဆိုတစ်ခုက မှန်ရင်

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

သင်္ချာပညာရှင်တွေက ဒါကို နဂိုမှန်အဆို သက်သေပြချက်တစ်ခုနဲ့ အတည်ပြုနိုင်သင့်တယ်။

Since ancient Greece, mathematicians used this system

ရှေး ဂရိခေတ်ကတည်းက သင်္ချာ ပညာရှင်တွေဟာ သင်္ချာဆိုင်ရာအဆိုတွေကို

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

လုံးဝ သေချာမှုနဲ့မှန်တာ(သို့) မှားတာကို သက်သေပြဖို့ ဒီစနစ်ကို အသုံးပြုခဲ့တယ်။

But when Gödel entered the field,

ဒါပေမဲ့ ဒီနယ်ကို Gödel ဝင်လာတော့

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

မကြာခင်က တွေ့ရှိတဲ့ ယုတ္တိဆိုင်ရာ ဝိရောဓိ တချို့က သေချာမှုကို ခြိမ်းခြောက်နေတယ်။

Prominent mathematicians were eager to prove

ထင်ရှားတဲ့ သင်္ချာပညာရှင်တွေက သင်္ချာမှာ ဝိရောဓိတွေ

that mathematics had no contradictions.

မရှိတာကို သက်သေပြဖို့ အားသန်နေကြတယ်။

Gödel himself wasn’t so sure.

Gödel ကိုယ်တိုင်ကတော့ သိပ်မသေချာခဲ့ဘူး။

And he was even less confident that mathematics was the right tool

ဒီပြဿနာကို စုံစမ်းစစ်ဆေးဖို့ သင်္ချာပညာဟာ မှန်ကန်တဲ့ ကိရိယာဖြစ်ခဲ့တယ်ဆိုတာကို

to investigate this problem.

သိပ်တောင် မယုံကြည်ခဲ့ဘူး။

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

ကိုယ့်ဘာသာ ရည်ညွန်းတဲ့ ဝိရောဓိတစ်ခုကို စကားလုံးတွေနဲ့ ဖန်တီးရတာ အတော် လွယ်ပေမဲ့

numbers don't typically talk about themselves.

ပုံမှန်က ကိန်းဂဏန်းတွေက သူတို့အကြောင်း သူတို့ မပြောကြဘူး။

A mathematical statement is simply true or false.

သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတစ်ခုဟာ မှန်တယ်(သို့ မှားတယ်ဆိုရုံပါ။

But Gödel had an idea.

ဒါပေမဲ့ Gödel မှာ စိတ်ကူးရှိတယ်။

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

ပထမ ရှုပ်ထွေးတဲ့ သင်္ချာ စိတ်ကူးတစ်ခုကို ဂဏန်းတစ်ခုတည်းအဖြစ် ဖော်ပြနိုင်အောင်

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတွေနဲ့ညီမျှခြင်းတွေကို ကုဒ်နံပါတ်တွေအဖြစ် သူ ဘာသာပြန်တယ်။

This meant that mathematical statements written with those numbers

ဆိုလိုတာက ဒီကိန်းတွေနဲ့ ရေးထားတဲ့ သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတွေဟာ

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

ကုဒ်သွင်းထားတဲ့ သင်္ချာပညာ အဆိုတွေအကြောင်း တစ်ခုခုကိုအဖြစ်လည်း ဖော်ပြနိုင်တာပါ။

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

ဒီနည်းနဲ့ ကုဒ်လုပ်ခြင်းက သင်္ချာပညာကို သူ့အကြောင်း သူ့ကို ပြောခွင့်ပေးတယ်။

Through this method, he was able to write:

ဒီနည်းစနစ်ကနေညီမျှခြင်းတစ်ခုအဖြစ်

“This statement cannot be proved” as an equation,

“ဤအဆိုကို သက်သေမပြနိုင်ပါ။” လို့ သူ ရေးနိုင်ခဲ့တယ်။

creating the first self-referential mathematical statement.

ပထမဆုံး ကိုယ်ဘာသာ ရည်ညွှန်းတဲ့ သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတစ်ခုကို ဖန်တီးတာပါ။

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

ဒါပေမဲ့ သူ့ကို စေ့ဆော်ပေးတဲ့ ဒွိဟဖြစ်တဲ့ ဝါကျလို မဟုတ်ဘဲ

mathematical statements must be true or false.

သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတွေဟာ မှန်တယ် (သို့) မှားတယ် ဖြစ်ရမှာပါ။

So which is it?

ဒီတော့ ဒါက ဘာလဲ။

If it’s false, that means the statement does have a proof.

ဒါက မှားတယ်ဆိုရင် အဆိုဟာ သက်သေပြချက် တစ်ခု ရှိကိုရှိတယ်။

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

ဒါပေမဲ့ သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုက သက်သေတစ်ခု ရှိတယ်ဆိုရင် ဒါက မှန်ကို မှန်ရမယ်။

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

ဒီဝိရောဓိက Gödel ရဲ့ အဆိုဟာ မမှားနိုင်ဘူးလို့ ဆိုလိုပြီး

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

ဒါကြောင့် ’ထိုဝါကျသည် သက်သေမပြနိုင်။” ဆိုတာ မှန်ရပါမယ်။

Yet this result is even more surprising,

ဒါပေမဲ့ ရလဒ်က ပိုတောင် အံ့ဩစရာဖြစ်တာက

because it means we now have a true equation of mathematics

ဒါကို သက်သေမပြနိုင်တာကို အခိုင်အမာဆိုတဲ့ သင်္ချာ ညီမျှခြင်းတစ်ခု ကျွန်ုပ်တို့မှာ

that asserts it cannot be proved.

အခု ရှိနေတယ်လို့ ဆိုလိုတာကြောင့်ပါ။

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

ဒီဖွင့်ချချက်က Gödel ရဲ့ မပြည့်စုံတဲ့ သီအိုရမ်ရဲ့ဗဟိုချက်မှာ ရှိတယ်။

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

၎င်းက သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုရဲ့ လုံးဝ သစ်တဲ့ အမျိုးအစားတစ်ခုကို မိတ်ဆက်ပေးတယ်။

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

Gödel ရဲ့ စံထဲမှာ အဆိုတွေက အမှန်(သို့) အမှား တစ်ခုခုဖြစ်နေဆဲပါ။

but true statements can either be provable or unprovable

ဒါပေမဲ့ အဆိုမှန်တွေဟာ ပေးထားတဲ့ နဂိုမှန်အဆို တစ်စုံအတွင်းမှာ

within a given set of axioms.

သက်သေပြနိုင်(သို့)မပြနိုင်တာ ဖြစ်နိုင်တယ်။

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

ဒါ့အပြင် ဒီသက်သေမပြနိုင်တဲ့ အဆိုမှန်တွေဟာ နဂိုမှန်အဆိုဆိုင်ရာ စနစ်တိုင်းမှာ

exist in every axiomatic system.

တည်ရှိတယ်လို့ Gödel က စောဒကတက်တယ်။

This makes it impossible to create

ဒါက သင်္ချာပညာ သုံးရင်း လုံးဝ ပြည့်စုံတဲ့

a perfectly complete system using mathematics,

စနစ်တစ်ခု ဖန်တီးဖို့ မဖြစ်နိုင်အောင် လုပ်တာပါ။

because there will always be true statements we cannot prove.

အကြောင်းကတော့ သက်သေမပြနိုင်တဲ့ အဆိုမှန်တွေ အမြဲ ရှိနေမှာမို့ပါ။

Even if you account for these unprovable statements

ချဲ့ထားတဲ့ သင်္ချာ စနစ်တစ်ခုမှာ နဂိုမှန်အဆိုသစ်တွေအဖြစ်

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

ဒါတွေကို ပေါင်းရင်း ဒီသက်သေမပြနိုင်တဲ့ အဆိုတွေကို သင် ရှင်းပြတာတောင်

that very process introduces new unprovably true statements.

ဒီလုပ်ငန်းစဉ်က သက်သေပြလို့မရတဲ့ အဆိုမှန်သစ်တွေကို မိတ်ဆက်ပေးတယ်။

No matter how many axioms you add,

နဂိုမှန်အဆို ဘယ်လောက်ပဲ ထပ်ပေါင်းပေါင်း

there will always be unprovably true statements in your system.

သင့်စနစ်ထဲမှာ သက်သေပြလို့ကိုမရတဲ့ အဆိုမှန်တွေ အမြဲ ရှိနေမှာပါ။

It’s Gödels all the way down!

ဒါက Gödels တစ်ချိန်လုံး လဲကျနေတာပါ။

This revelation rocked the foundations of the field,

တစ်နေ့မှာ သင်္ချာဆိုင်ရာ အဆိုတိုင်းဟာ သက်သေပြမယ်(သို့)

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

မပြဘူးလို့ အိပ်မက်မက်ခဲ့ သူတွေကို နှိမ်နင်းရင်း ဒီဖွင့်ချချက်က

be proven or disproven.

နယ်ပယ်ရဲ့ အုတ်မြစ်တွေကို လှုပ်ယမ်းခဲ့တယ်။

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

ဒသဘာဝကျမှု အသစ်ကို သင်္ချာပညာရှင် အများစုက လက်ခံပေမဲ့ တချို့က မကြာခဏ ငြင်းခုံတယ်။

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

အခြားသူတွေက သူတို့နယ်ပယ်ရဲ့ ဗဟိုချက်အတွင်းက အသစ်တွေ့တဲ့ တွင်းတစ်ခုကို

in the heart of their field.

လျစ်လျူရှုဖို့ ကြိုးစားဆဲပါ။

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

ဒါပေမဲ့ ခိုင်မာနေတဲ့ နောက်ထပ် ပြဿနာတွေဟာ သက်သေပြ မရအောင် မှန်တာကို သက်သေပြတာကြောင့်

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

တချို့က သူတို့ရဲ့ ဘဝတာအလုပ် ပြီးမြောက်ဖို့ မဖြစ်နိုင်မှာကို စတင် ပူပန်ကြတယ်။

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

ဒါပေမဲ့ Gödel ရဲ့ သီအိုရမ်က ပိတ်ခဲ့သလောက် တံခါး အများကြီး ဖွင့်ပေးခဲ့တယ်။

Knowledge of unprovably true statements

သက်သေမပြနိုင်တဲ့ အဆိုမှန်တွေရဲ့ အသိသုတက

inspired key innovations in early computers.

အစောပိုင်း ကွန်ပြူတာတွေထဲက အဓိက တီထွင်မှုတွေကို စေ့ဆော်ပေးခဲ့တယ်။

And today, some mathematicians dedicate their careers

ယနေ့ သင်္ချာပညာရှင်တချို့ဟာ သူတို့အလုပ်တွေကို သက်သေမပြနိုင်တဲ့

to identifying provably unprovable statements.

အဆိုတွေကို သက်သေပြနိုင်လောက်အောင် ရှာဖွေခြင်းမှာ မြှုပ်နှံထားတယ်။

So while mathematicians may have lost some certainty,

ဒီတော့ သင်္ချာပညာရှင်တွေဟာ သေချာမှု ပျောက်ဆုံးခဲ့လောက်ပေမဲ့

thanks to Gödel they can embrace the unknown

Gödel ကြောင့် အမှန်တရား ရှာဖွေမှုတိုင်းရဲ့

at the heart of any quest for truth.

ဗဟိုချက်မှာရှိတဲ့ မသိသေးတာကို ပွေ့ဖက်နိုင်ကြတယ်။