The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Çeviri: Ebrar Batmaz Gözden geçirme: Gözde Alpçetin

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Sıradaki cümleyi bir düşünün: ″Bu cümle yanlıştır.″

Is that true?

Doğru mudur sizce?

If so, that would make this statement false.

Öyleyse bu, cümlenin yanlış olduğu anlamına gelir.

But if it’s false, then the statement is true.

Fakat yanlışsa cümle doğru demektir.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Bu cümle direkt kendinden bahsederek çözülemez bir paradoks yaratıyor.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Eğer doğru değilse, yanlış da değilse nedir ki bu?

This question might seem like a silly thought experiment.

Bu soru, saçma bir düşünce deneyi gibi gözükebilir.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Fakat bu soru 20. yüzyılın başında, Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel’i

to a discovery that would change mathematics forever.

matematiği sonsuza dek değiştirecek bir keşfe itmiştir.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

Gödel’in keşfi matematiksel ispatların kısıtlamalarıyla ilgiliydi.

A proof is a logical argument that demonstrates

İspat, sayılarla ilgili önermelerin

doğruluğunu gösteren mantıksal bir argümandır.

why a statement about numbers is true.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Bu argümanların ön dayanakları aksiyomlardır.

undeniable statements about the numbers involved.

Aksiyom, bu sayılarla ilgili kesin olan önermelerdir.

Every system built on mathematics,

En karışık ispattan tutun basit aritmetiğe kadar

from the most complex proof to basic arithmetic,

matematik üzerine kurulu her sistem

is constructed from axioms.

aksiyomlardan oluşur.

And if a statement about numbers is true,

Eğer sayılarla ilgili bir önerme doğruysa

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

matematikçiler aksiyomatik bir ispatla bunu onaylamalıdır.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Antik Yunan tarihinden beri matematikçiler bu sistemi

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

matematiksel önermeleri kanıtlamak veya çürütmek için kullanmıştır.

But when Gödel entered the field,

Fakat Gödel meydana çıktığında

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

bazı yeni çözülmüş mantıksal paradokslar bu kesinliği tehdit ediyordu.

Prominent mathematicians were eager to prove

Önde gelen matematikçiler,

matematiğin çelişkilerinin olmadığını kanıtlamak için istekliydi.

that mathematics had no contradictions.

Gödel himself wasn’t so sure.

Gödel bundan pek emin değildi.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

Hatta bu problemi çözmek için

doğru aracın matematik olduğundan hiç emin değildi.

to investigate this problem.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Kelimelerle özgönderimsel bir paradoks yaratmak çok basit olsa da

numbers don't typically talk about themselves.

sayılar genelde kendilerinden bahsetmezler.

A mathematical statement is simply true or false.

Matematiksel bir önerme basitçe doğrudur veya yanlıştır.

But Gödel had an idea.

Ama Gödel’in bir fikri vardı.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

İlk olarak, matematiksel önermeleri ve denklemleri kod numaralarına çevirerek

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

karışık bir matematik önermesinin tek bir sayıda ifade edilmesini sağladı.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Böylelikle bu sayılarla yazılan matematiksel ifadeler

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

aynı zamanda matematikteki şifreli önermeleri de ifade ediyordu.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

Bu kodlama matematiğin kendinden bahsetmesini sağladı.

Through this method, he was able to write:

Bu yöntemle ″Bu önerme kanıtlanamaz″ cümlesini bir denklem olarak yazabildi

“This statement cannot be proved” as an equation,

creating the first self-referential mathematical statement.

ve ilk özgönderimsel matematiksel önermeyi yaratmış oldu.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Fakat ilham kaynağı olan bu belirsiz cümlenin aksine

mathematical statements must be true or false.

matematiksel önermeler doğru veya yanlış olmalı.

So which is it?

Öyleyse sizce hangisi?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Eğer yanlışsa önermenin bir ispatının olduğu anlamına gelir.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Ama matematiksel önermenin bir ispatı varsa doğru demektir.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Bu çelişki Gödel’in önermesinin yanlış olmadığını belirtir.

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

Bu yüzden ″Bu önerme kanıtlanamaz″ demek doğrudur.

Yet this result is even more surprising,

Hatta sonuç daha da şaşırtıcı

because it means we now have a true equation of mathematics

çünkü artık ispatlanamayacağını öne süren

that asserts it cannot be proved.

doğru bir matematik denklemi var demektir.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Bu keşif, matematiksel önermelere yeni bir sınıf ekleyerek

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

Gödel’in Eksiklik Teoreminin temelini oluşturdu.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

Gödel’in örneğinde, önermeler hala yanlış veya doğrudur

but true statements can either be provable or unprovable

fakat doğru önermeler aksiyomlar sayesinde ispatlanır veya ispatlanamaz.

within a given set of axioms.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Üstelik Gödel, ispatlanamayan bu doğru önermelerin

exist in every axiomatic system.

her aksiyomatik sistemde bulunduğunu iddia ediyordu.

This makes it impossible to create

Bu, sonlu bir matematik sistemi yaratmanın imkansız olduğunu gösterir.

a perfectly complete system using mathematics,

because there will always be true statements we cannot prove.

Çünkü her zaman ispatlayamayacağımız doğru önermeler olacaktır.

Even if you account for these unprovable statements

Her ne kadar bu ispatlanamaz önermeleri

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

geniş bir matematik sistemine yeni aksiyomlar olarak ekleseniz de

that very process introduces new unprovably true statements.

bu süreç de yeni ispatlanamayan doğru önermeler ortaya çıkaracaktır.

No matter how many axioms you add,

Ne kadar aksiyom eklerseniz ekleyin

there will always be unprovably true statements in your system.

sisteminizde her zaman ispatlanamayan doğru önermeler olacaktır.

It’s Gödels all the way down!

Her aşamada Gödel’i haklı çıkaracaksınız!

This revelation rocked the foundations of the field,

Bu keşif alanı derinden sarsarak

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

her matematiksel önermenin bir gün ispatlanacağını

be proven or disproven.

veya çürütüleceğini hayal edenleri yıktı.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Çoğu matematikçi bu yeni gerçekliği kabul ederken bazıları gayretle tartıştı.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Diğerleri alanlarının kalbinde yeni açılmış bu deliği

in the heart of their field.

yok saymaya çalıştı.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Fakat klasik problemlerin ispatlanamayan doğru önermeler olduğu ortaya çıktıkça

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

bazıları çalışmalarını bitirmenin imkansız olacağını düşünmeye başladı.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Yine de Gödel’in teoremi kapattığı kapı kadar kapı açtı.

Knowledge of unprovably true statements

İspatlanamayan doğru önermeler bilgisi

inspired key innovations in early computers.

ilk bilgisayarlardaki ana yeniliklere ilham olmuştur.

And today, some mathematicians dedicate their careers

Günümüzde, bazı matematikçiler kariyerini

to identifying provably unprovable statements.

ispatlanamayan önermeleri tanımlamaya adamıştır.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Bu yüzden bazı matematikçiler kesinliği kaybetmiş olsa da

thanks to Gödel they can embrace the unknown

Gödel sayesinde doğru arayışının kalbindeki bilinmezliği kucaklayabilirler.

at the heart of any quest for truth.