The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

翻訳: Yasushi Aoki 校正: Tomoyuki Suzuki

Consider the following sentence: “This statement is false.”

こんな文を考えてみてください 「この文は偽である」

Is that true?

これは真でしょうか？

If so, that would make this statement false.

そうであるなら この文は偽であることになります

But if it’s false, then the statement is true.

しかし偽だとすると この文は真だということになります

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

文がその文自体に言及することで 解決不能なパラドックスが生じています

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

真でもなく偽でもないなら 何なのでしょう？

This question might seem like a silly thought experiment.

この疑問は馬鹿げた 思考実験に見えるかもしれませんが

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

20世紀の初めに オーストリアの 論理学者クルト・ゲーデルが

to a discovery that would change mathematics forever.

数学を本質的に変える発見を することにつながりました

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

ゲーデルの発見は 数学的証明の限界に関するものです

A proof is a logical argument that demonstrates

証明というのは

数に関する命題が真であることを 論理的に示すことであり

why a statement about numbers is true.

The building blocks of these arguments are called axioms—

そのための基礎になるのは

公理と呼ばれる　 数に関する疑いようのない命題です

undeniable statements about the numbers involved.

Every system built on mathematics,

数学における方法は全て

from the most complex proof to basic arithmetic,

複雑な証明から 基本的な算術まで

is constructed from axioms.

公理から構築されています

And if a statement about numbers is true,

そして数に関する命題が 真であるなら

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

数学者はそれを公理に基づいて 証明できるはずなのです

Since ancient Greece, mathematicians used this system

古代ギリシア以来 数学者はこの方法を用い

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

全くの確信を持って 数学的主張の証明や否定をしてきました

But when Gödel entered the field,

しかしゲーデルの登場で見出された 論理的パラドックスにより

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

その確信が揺らぐことになります

Prominent mathematicians were eager to prove

当時 著名な数学者たちが

that mathematics had no contradictions.

数学の無矛盾性を証明しようと 取り組んでいましたが

Gödel himself wasn’t so sure.

ゲーデルはそれに疑問を持ち

And he was even less confident that mathematics was the right tool

数学がそもそも その問題の研究に 適切な手段なのかを疑いました

to investigate this problem.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

言葉で自己言及的パラドックスを作るのは 比較的容易ですが

numbers don't typically talk about themselves.

数というのは自分自身について 語るものではありません

A mathematical statement is simply true or false.

数学的命題は単に 真か偽かのいずれかです

But Gödel had an idea.

しかしゲーデルは思いつきました

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

数学的な命題や方程式をコード化して 数へと変換すれば

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

複雑な数学的なアイデアでも 一個の数で表現できるようになります

This meant that mathematical statements written with those numbers

そういう数を使った数学的命題は

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

コード化された数学的命題について 記述することになります

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

そのようにして コード化により 数学での自己言及が可能になります

Through this method, he was able to write:

この方法を使い ゲーデルは

“This statement cannot be proved” as an equation,

「この命題は証明できない」ということを 方程式として書くことができました

creating the first self-referential mathematical statement.

史上最初の自己言及的な 数学的命題です

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

着想の元になった曖昧な文とは違い

mathematical statements must be true or false.

数学的命題は 真か偽かのいずれかです

So which is it?

この場合どちらなのでしょう？

If it’s false, that means the statement does have a proof.

偽であるなら この命題に証明が存在するということですが

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

証明が存在するなら 命題は真であるということになります

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

この矛盾により ゲーデルの命題は偽ではあり得ず

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

「この命題は証明できない」というのは 真だということになります

Yet this result is even more surprising,

この結果は驚くべきもので

because it means we now have a true equation of mathematics

それを証明はできないと主張する 正しい数学的方程式を

that asserts it cannot be proved.

手にしたことになります

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

これがゲーデルの不完全性定理の 核にあるものであり

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

全く新種の命題を 数学にもたらすことになりました

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

ゲーデルの枠組みにおいても 命題は真か偽かのいずれかですが

but true statements can either be provable or unprovable

真である命題の中には 与えられた公理系において

証明可能なものと証明不能なものが あるということです

within a given set of axioms.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

さらにゲーデルによれば

証明不能な命題は いかなる公理系にも存在するのです

exist in every axiomatic system.

This makes it impossible to create

つまり数学において完全な公理系を作ることは 不可能ということで

a perfectly complete system using mathematics,

because there will always be true statements we cannot prove.

証明できない真である命題が 常に存在するのです

Even if you account for these unprovable statements

そういう証明不能な命題に対処しようと 新たな公理を追加したとしても

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

that very process introduces new unprovably true statements.

それによってまた新たな証明不能な真である命題が 生じることになります

No matter how many axioms you add,

公理をどれだけ追加したところで

there will always be unprovably true statements in your system.

証明不能な真である命題は なくならず

It’s Gödels all the way down!

どこまで行っても ゲーデルからは逃れられません

This revelation rocked the foundations of the field,

この発見は数学の根本を揺るがし

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

数学的主張は全て いつかは 証明ないしは否定ができるという夢を

be proven or disproven.

打ち砕くことになりました

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

数学者の多くが この新たな現実を 受け入れた一方で

白熱した議論を続ける者や

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

この数学の中心に見つかった穴を

in the heart of their field.

無視しようとする者もいましたが

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

有名な問題が 証明不能であることが証明されるにつけ

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

自らのライフワークは完成できないのではと 危惧する人も出てきました

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

それでもゲーデルの定理は 閉じたのと 同じくらい多くの扉を開くことになりました

Knowledge of unprovably true statements

証明不能な真である命題 という知見は

inspired key innovations in early computers.

初期のコンピューターにおける 重要なイノベーションにつながり

And today, some mathematicians dedicate their careers

今日でも数学者の中には

証明不能な命題の特定を 研究テーマとしている人たちがいます

to identifying provably unprovable statements.

So while mathematicians may have lost some certainty,

数学者たちは確信を少し失うことに なったかもしれませんが

thanks to Gödel they can embrace the unknown

ゲーデルのおかげで

あらゆる真理の探究の核心にある未知なるものを 受け入れられるようになったのです

at the heart of any quest for truth.