The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Translator: Neen Rungsmaithong Reviewer: Sakunphat Jirawuthitanant

Consider the following sentence: “This statement is false.”

ลองนึกถึงประโยคนี้ดูสิ ”ข้อความนี้ไม่เป็นความจริง”

Is that true?

จริงเหรอ?

If so, that would make this statement false.

ถ้าจริง ข้อความนี้ก็จะไม่เป็นความจริง

But if it’s false, then the statement is true.

แต่ถ้าไม่จริง ข้อความนี้ก็จะเป็นความจริงน่ะสิ

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

ถ้าข้อความนี้พูดถึงตัวเอง มันก็คงจะขัดแย้งกันในตัวมันเอง

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

แล้วถ้ามันไม่ได้จริง แต่ก็ไม่ได้ไม่จริง มันคืออะไรกันแน่ล่ะ?

This question might seem like a silly thought experiment.

คำถามนี้อาจจะฟังดูเหมือนกับ การทดลองทางความคิดแปลกๆ

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

ทว่าในช่วงต้นของศตวรรษที่ 20 นักตรรกวิทยา ชาวออสเตรียคนหนึ่ง นามว่า เคิร์ท เกอร์เดิล

to a discovery that would change mathematics forever.

ได้ค้นพบสิ่งที่จะเปลี่ยน โลกคณิตศาสตร์ไปตลอดกาล

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

การค้นพบของเกอร์เดิลนั้นพูดถึง ข้อจำกัดของการพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

A proof is a logical argument that demonstrates

การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์นั้นคือ การพิสูจน์ที่จะทำให้เห็นว่า

why a statement about numbers is true.

ทำไมกระบวนความตัวเลขต่าง ๆ ถึงถูกต้อง

The building blocks of these arguments are called axioms—

พื้นฐานของข้อพิสูจน์เหล่านี้ ถูกเรียกว่า “สัจพจน์”

undeniable statements about the numbers involved.

ซึ่งคือข้อพิสูจน์เกี่ยวกับตัวเลข ที่ไม่สามารถปฏิเสธได้

Every system built on mathematics,

ทุกระบบที่มีพื้นฐานจากคณิตศาสตร์

from the most complex proof to basic arithmetic,

ตั้งแต่คณิตศาสตร์พื้นฐาน ไปจนถึงการพิสูจน์ที่ซับซ้อน

is constructed from axioms.

ทุกอย่างล้วนมีพื้นฐานจากสัจพจน์ทั้งสิ้น

And if a statement about numbers is true,

และหากกระบวนความ ของตัวเลขกลุ่มหนึ่งนั้นถูกต้อง

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

นักคณิตศาสตร์ต้องพิสูจน์ได้ โดยการใช้สัจพจน์

Since ancient Greece, mathematicians used this system

ตั้งแต่สมัยกรีกโบราณ นักคณิตศาสตร์ได้ใช้วิธีนี้

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

ในการพิสูจน์การอ้างอิงทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ด้วยความมั่นใจเป็นอย่างมาก

But when Gödel entered the field,

ทว่าเมื่อเกอร์เดิลเริ่มมีบทบาท

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

สิ่งที่เขาค้นพบทำให้ความมั่นใจ ของนักคณิตศาสตร์เหล่านั้นน้อยลง

Prominent mathematicians were eager to prove

นักคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงหลายคน ได้พยายามที่จะพิสูจน์

that mathematics had no contradictions.

ว่าคณิตศาสตร์นั้นไร้ซึ่งความย้อนแย้ง

Gödel himself wasn’t so sure.

แต่เกอร์เดิลเห็นต่าง

And he was even less confident that mathematics was the right tool

และเขาก็ยังคิดอีกด้วยว่า

คณิตศาสตร์นั้นไม่ใช่เครื่องมือ ในการหาคำตอบในครั้งนี้

to investigate this problem.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

การสร้างประโยคที่มีความย้อนแย้ง เมื่อพูดถึงตัวมันเองนั้นอาจไม่ใช่เรื่องยาก

numbers don't typically talk about themselves.

ทว่าตัวเลขส่วนใหญ่ ไม่ได้พูดถึงตัวมันเองน่ะสิ

A mathematical statement is simply true or false.

กระบวนความทางคนิตศาสตร์ต่าง ๆ ก็มีแค่ จริง หรือไม่จริง

But Gödel had an idea.

แต่เกอร์เดิลก็คิดออก

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

เขาแปลงสมการและกระบวนความ ทางคณิตศาสตร์ให้เป็นรหัสตัวเลข

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

เพื่อทำให้สมการที่ซับซ้อน กลายเป็นเพียงตัวเลขธรรมดา

This meant that mathematical statements written with those numbers

เพราะฉะนั้น กระบวนความเหล่านี้ ที่ถูกแปลงเป็นตัวเลขแล้วนั้น

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

ก็จะแสดงให้เห็นถึงบางอย่าง ที่อยู่ใกระบวนความนั้นๆ

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

และจะทำให้ตัวเลข สามารถพูดถึงตัวมันเองได้

Through this method, he was able to write:

และด้วยวิธีการนี้ เขาสามารถเขียนว่า:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“กระบวนความนี้ไม่สามารถพิสูจน์ได้” ในรูปแบบของสมการ

creating the first self-referential mathematical statement.

ซึ่งเป็นการเขียนกระบวนความทางคณิตศาสตร์ ที่พูดถึงตัวมันเองเป็นครั้งแรกของโลก

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

ทว่า ต่างจากประโยคอันคลุมเครือ ที่เป็นตัวจุดประกายไอเดียของเขา

mathematical statements must be true or false.

กระบวนความทางคณิตศาสตร์นั้น ก็ต้องจบที่ จริง หรือ ไม่จริง อยู่ดี

So which is it?

แล้วมันอย่างไหนล่ะ?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

ถ้ามันไม่จริง ก็แปลว่ากระบวนความนั้นพิสูจน์ได้

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

ซึ่งถ้าพิสูจน์ได้ งั้นกระบวนความนั้นก็ต้องเป็นความจริงสิ

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

ความย้อนแย้งนี้ ทำให้กระบวนความนั้นต้องเป็นความจริง

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

เพราะฉะนั้น มันก็ต้องเป็นความจริง ว่า “กระบวนความนี้ไม่สารถพิสูจน์ได้”

Yet this result is even more surprising,

แต่ผลลัพธ์มันน่าตื่นตาตื่นใจ ยิ่งกว่านั้นอีก

because it means we now have a true equation of mathematics

เพราะตอนนี้ เราได้สร้างสมการเลข

that asserts it cannot be proved.

ที่บอกว่าตัวมันเองนั้นพิสูจน์ไม่ได้ ขึ้นมาแล้วไงล่ะ

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

การค้นพบในครั้งนี้เป็นแก่นแท้ ของทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอร์เดิล

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

ที่ได้ทำให้เรารู้จักกับ คณิตศาสตร์แขนงใหม่โดยสิ้นเชิง

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

และในตัวอย่างของเกอร์เดิลนั้น กระบวนความก็ยังคงมีแค่ จริง และไม่จริง

but true statements can either be provable or unprovable

แต่กระบวนความที่เป็นความจริง นั้นไม่จำเป็นจะต้องพิสูจน์ได้

within a given set of axioms.

เพียงแค่ยังอยู่ในหลักของสัจพจน์

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

เกอร์เดิลยังบอกอีกว่ากระบวนความ ที่เป็นความจริงแต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้

exist in every axiomatic system.

ยังมีอยู่ในทุกๆระบบที่เกี่ยวสัจพจน์อีกด้วย

This makes it impossible to create

ซึ่งแปลว่ามันเป็นไปไม่ได้เลย

a perfectly complete system using mathematics,

ที่จะสร้างระบบที่สมบูรณ์ โดยใช้คณิตศาสตร์เป็นตัวตั้ง

because there will always be true statements we cannot prove.

เพราะมันจะมีกระบวนความที่เป็นความจริง แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้อยู่เสมอ

Even if you account for these unprovable statements

และถึงคุณจะทดกระบวนความ ที่พิสูจน์ไม่ได้เหล่านี้

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

โดยการเพิ่มสัจพจน์เข้าไปในระบบ

that very process introduces new unprovably true statements.

กระบวนความที่เป็นความจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้ ก็จะเพิ่มมาในระบบอยู่ดี

No matter how many axioms you add,

และไม่ว่าคุณจะเพิ่มสัจพจน์เข้ามามากแค่ไหน

there will always be unprovably true statements in your system.

กระบวนความที่เป็นความจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้ ก็จะมีอยู่เสมอ

It’s Gödels all the way down!

แบบไม่มีวันสิ้นสุดเลยล่ะ

This revelation rocked the foundations of the field,

การค้นพบในครั้งนี้ ได้ทำให้ความรู้คณิตศาสตร์พื้นฐานสั่นคลอน

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

และความคิดที่ว่าการอ้างอิงทางคณิตศาสตร์ ทุกๆอันจะพิสูจน์ได้ในสักวันหนึ่ง

be proven or disproven.

ก็ไม่ใช่เรื่องจริงอีกต่อไป

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

ในขณะที่นักคณิตศาสคร์ส่วนใหญ่ ยอมรับในความเป็นจริงนี้

บางคนก็พยายามที่จะโต้แย้งหรือเมินเฉย ในรูโหว่ที่อยู่ในแก่นของคณิตศาสตร์นี้

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

in the heart of their field.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

แต่เมื่อปัญหาคณิตหลายๆอันได้ถูกพิสูจน์ ว่าเป็นความจริงอย่างไม่สามารถพิสูจน์ได้

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

หลายคนก็ได้เริ่มกังวลว่างานทั้งชีวิต ที่ทำมาจะไม่มีวันเสร็จสมบูรณ์

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

ถึงอย่างนั้น ทฤษฎีของเกอร์เดิล ก็ได้เปิดโอกาสให้ใครหลายๆคนเช่นกัน

Knowledge of unprovably true statements

ความรู้เรื่องกระบวนความ ที่เป็นความจริงแต่พิสูจน์ไม่ได้

inspired key innovations in early computers.

ได้จุดประกายนวัตกรรมสำคัญ ที่ถูกนำมาใช้ในคอมพิวเตอร์รุ่นแรกๆ

And today, some mathematicians dedicate their careers

และในปัจจุบัน นักคณิตศาสตร์หลายคน ก็ทุ่มเททั้งอาชีพ

to identifying provably unprovable statements.

ให้กับการค้นหากระบวนความที่เป็นความจริง แต่พิสูจน์ไม่ได้

So while mathematicians may have lost some certainty,

เพราะฉะนั้น แม้นักคณิตศาสตร์ อาจเสียความมั่นใจไปบ้าง

thanks to Gödel they can embrace the unknown

เกอร์เดิลก็ได้ช่วยทำให้พวกเขา ยอมรับในสิ่งที่ไม่รู้

at the heart of any quest for truth.

ซึ่งอยู่ในแก่นของการค้นหาความจริง