The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Prevoditelj: Leona Grujić Recezent: Ivan Luka Sabolović

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Promotrite sljedeću rečenicu: “Ova izjava je lažna.”

Is that true?

Je li to istina?

If so, that would make this statement false.

Ako jest, to znači da je izjava lažna.

But if it’s false, then the statement is true.

Ali ako je laž, izjava je istinita.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Izravnim referiranjem na samu sebe, rečenica stvara nerazrješivi paradoks.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Dakle, ako nije istinita i nije lažna, što je onda?

This question might seem like a silly thought experiment.

To pitanje se može činiti kao glupa misao,

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

ali u ranom 20. stoljeću dovelo je austrijskog logičara Kurta Gödela

to a discovery that would change mathematics forever.

do otkrića koje će zauvijek promijeniti matematiku.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

Godelovo otkriće tiče se ograničenja matematičkih dokaza.

A proof is a logical argument that demonstrates

Dokaz je logički argument koji pokazuje

why a statement about numbers is true.

zašto je neki iskaz o brojevima istinit.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Ti argumenti su izgrađeni od tzv. aksioma,

undeniable statements about the numbers involved.

neporecivih iskaza o uključenim brojevima.

Every system built on mathematics,

Svaki sustav izgrađen na matematici,

from the most complex proof to basic arithmetic,

od najsloženijeg dokaza do osnovne aritmetike,

is constructed from axioms.

konstruiran je od aksioma.

And if a statement about numbers is true,

A ako je iskaz o brojevima istinit,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

matematičari bi ga trebali moći potvrditi pomoću aksiomatskog dokaza.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Još od grčke antike, matematičari su koristili taj sustav

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

kako bi sa sigurnošću dokazali ili pobili matematičke tvrdnje.

But when Gödel entered the field,

Ali kad se Gödel počeo time baviti,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

neki novootkriveni logički paradoksi zaprijetili su toj sigurnosti.

Prominent mathematicians were eager to prove

Istaknuti matematičari željeli su dokazati

that mathematics had no contradictions.

da u matematici ne postoje proturječja.

Gödel himself wasn’t so sure.

Sam Gödel u to nije bio toliko siguran.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

A još je manje vjerovao da je matematika pravo oruđe

to investigate this problem.

za istraživanje tog problema.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Iako je relativno lagano stvoriti autoreferencijalni paradoks od riječi,

numbers don't typically talk about themselves.

brojevi obično ne govore o samima sebi.

A mathematical statement is simply true or false.

Matematički iskaz je naprosto istinit ili nije.

But Gödel had an idea.

Ali Gödel je imao ideju.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Prvo je preveo matematičke iskaze i jednadžbe u kodne brojeve

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

kako bi mogao izraziti složenu matematičku ideju jednim brojem.

This meant that mathematical statements written with those numbers

To je značilo da su matematički iskazi napisani tim brojevima

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

također govorili nešto o kodiranim matematičkim iskazima.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

Na taj način, kodiranje je omogućilo matematici da govori o samoj sebi.

Through this method, he was able to write:

Tom metodom mogao je napisati

“This statement cannot be proved” as an equation,

“Ovaj se iskaz ne može dokazati” kao jednadžbu

creating the first self-referential mathematical statement.

i tako je stvorio prvi autoreferencijalni matematički iskaz.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Međutim, za razliku od dvosmislene rečenice koja ga je nadahnula,

mathematical statements must be true or false.

matematički iskazi moraju biti istinite ili lažne.

So which is it?

Dakle, koje je od toga?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Ako je iskaz lažan, to znači da se može dokazati.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Ali ako matematički iskaz ima dokaz, onda mora biti istinit.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Ovo proturječje znači da Gödelova iskaz ne može biti lažan,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

stoga mora biti istina da se “ovaj iskaz ne može dokazati.”

Yet this result is even more surprising,

Ali taj rezultat je još neočekivaniji,

because it means we now have a true equation of mathematics

jer znači da sada imamo istinitu matematičku jednadžbu

that asserts it cannot be proved.

koja tvrdi da se ne može dokazati.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Ovo otkriće je u središtu Gödelova teorema nepotpunosti

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

koji uvodi potpuno novi razred matematičkih iskaza.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

U Gödelovoj paradigmi, iskazi su i dalje istiniti ili lažni,

but true statements can either be provable or unprovable

ali istiniti iskazi mogu biti ili dokazivi ili nedokazivi

within a given set of axioms.

unutar određenog skupa aksioma.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Nadalje, Gödel tvrdi da nedokazivi istiniti iskazi

exist in every axiomatic system.

postoje u svakom aksiomatskom sustavu.

This makes it impossible to create

To omogućuje stvaranje

a perfectly complete system using mathematics,

savršeno potpunog sustava pomoću matematike

because there will always be true statements we cannot prove.

zato što će uvijek postojati istiniti iskazi koji se ne mogu dokazati.

Even if you account for these unprovable statements

Čak i ako uračunate te nedokazive iskaze

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

tako da ih uključite kao nove aksiome u uvećani matematički sistem,

that very process introduces new unprovably true statements.

sam taj proces uvodi nove nedokazive istinite iskaze.

No matter how many axioms you add,

Bez obzira na to koliko ste aksioma dodali,

there will always be unprovably true statements in your system.

u sustavu će uvijek postojati nedokazivi istiniti iskazi.

It’s Gödels all the way down!

Cijeli sistem je gödelovski!

This revelation rocked the foundations of the field,

Ovo otkriće je do temelja potreslo područje matematike,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

i pokopalo one koji su sanjali da će jednog dana sve matematičke tvrdnje

be proven or disproven.

biti dokazane ili pobijene.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Dok je većina matematičara prihvatila novu realnost, neki su ju propitkivali.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Drugi su pokušali ignorirati novootkrivenu rupu

in the heart of their field.

u srcu njihovog područja.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Ali što se više klasičnih problema pokazalo nedokazivo istinitima,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

neki su se počeli brinuti da neće nikad moći dovršiti svoje životno djelo.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Ipak, Gödelov teorem otvorio je mnoga dotad zatvorena vrata.

Knowledge of unprovably true statements

Znanje o nedokazivim istinitim iskazima

inspired key innovations in early computers.

nadahnulo je ključne inovacije u ranom računarstvu.

And today, some mathematicians dedicate their careers

Danas, neki matematičari posvećuje čitave karijere

to identifying provably unprovable statements.

pronalaženju dokazivo nedokazivih iskaza.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Dakle, iako matematičari više nisu tako sigurni kao prije,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

zahvaljujući Gödelu mogu prihvatiti nepoznato

at the heart of any quest for truth.

koje leži u srcu svake potrage za istinom.