The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Translator: Mhamad Luqman Shahab Reviewer: Daban Q. Jaff

Consider the following sentence: “This statement is false.”

رەچاوی ئەم رستەیە بکە: “ئەم لێدوانە هەڵەیە”.

Is that true?

ئەمە راستە؟

If so, that would make this statement false.

ئەگەر وابێت، ئەمە وادەکات ئەو رستەیە هەڵەبێت.

But if it’s false, then the statement is true.

بەڵام ئەگەر هەڵەبێت، کەواتە رستەکە راستە.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

ئەگەر راستەوخۆ بگەڕێینەوە بۆ رستەکە، ئەو رستەیە ناکۆکیەکی بێ ئەنجام دروستدەکات.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

بۆیە ئەگەر راست نەبێت هەڵەش نابێت— ئەوە چییە؟

This question might seem like a silly thought experiment.

ئەم پرسیارە لەوانەیە وەک تاقیکردنەوەیەکی گەمژانە دەربکەوێت.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

بەڵام لە سەرەتای سەدەی ٢٠م، رابەرایەتی زانای زمانەوانی نەمسایی کورت گۆدڵی کرد

to a discovery that would change mathematics forever.

بۆ دۆزینەوەیەک کە بیرکاری بۆ تا هەتایە دەگۆڕێت.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

دۆزینەوەکەی گۆڵ پێویستی بە سنوری سەلماندنەکانی بیرکاری هەبوو.

A proof is a logical argument that demonstrates

سەلماندن مشت و مڕێکی لۆژیکیە کە دەڵێت

why a statement about numbers is true.

بۆچی رستەیەک لەسەر ژمارەکان راستە.

The building blocks of these arguments are called axioms—

بلۆکەکانی ئەو مشت و مڕانە بە وتەیەکی بەڵگە نەویست ناودەبرێت—

undeniable statements about the numbers involved.

لێدوانە حاشاهەڵنەگرەکان دەربارەی ئەو ژمارانەی کە تێوەگلاون.

Every system built on mathematics,

هەموو سیستەمێک لەسەر بیرکاری بنیات دەنرێت،

from the most complex proof to basic arithmetic,

لە ئاڵۆزترین بەڵگەوە بۆ ژمارە بنەڕەتییەکان،

is constructed from axioms.

کە لە بەڵگە نەبوونەوە دروستکراوە.

And if a statement about numbers is true,

ئەگەر رستەیەک دەربارەی ژمارەکان راست بێت،

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

بیرکاریزانەکان دەبێت بتوانن بە بەڵگەیەکی حاشا هەڵنەگر روونی بکەنەوە.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

لەوەتەی بیرکاری زانە کۆنەکانی یۆنان ئەو سیستەمە بەکار دێنن

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

بۆ سەلماندن و بەدرۆخستنەوەی بانگەشەی بیرکاری بڕوا بەخۆ بوونی تەواوە.

But when Gödel entered the field,

بەڵام کاتێک گۆدڵ چووە ناو بوارەکەوە،

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

هەندێ زانای دیار و لۆجیکی ناکۆک لەو متمانە بەخۆبوونەی دەترسان.

Prominent mathematicians were eager to prove

بیرکاری زانە دیارەکان بە پەرۆش بوون بۆ سەلماندنی

that mathematics had no contradictions.

بۆئەوە بڵێن بیرکاری هیچ ناکۆکیەکی لەسەر نییە.

Gödel himself wasn’t so sure.

گۆدڵ خۆی زۆر دڵنیا نەبوو.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

تەنانەت ئەو بڕوایەکی کەمی بەخۆی هەبوو کە بیرکاری ئامرازێکی راست بووبێت

to investigate this problem.

بۆ چارەسەرکردنی ئەو کێشەیە.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

لەکاتێکدا دروستکردنی سەرچاوەیەکی نەسازاو لە وشەکان تا ڕادەیەک ئاسانە،

numbers don't typically talk about themselves.

بەشێوەیەکی ئاسایی ژمارەکان لەسەر خۆیان نادوێن.

A mathematical statement is simply true or false.

رستەیەکی بیرکاری یان راستە یان هەڵەیە.

But Gödel had an idea.

بەڵام گۆدڵ بیرۆکەیەکی هەبوو.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

سەرەتا، رستە و پرسیارە بیرکاریرکانی وەرگێرا بۆ سەر شێوەی کۆد

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

ئنجا بیرۆکەیەکی قورسی بیرکاری دەتوانرێت بە یەک ژمارە دەرببڕدرێت.

This meant that mathematical statements written with those numbers

ئەمەش واتا کە رستە بیرکارییەکان لەگەڵ ئەو ژمارانە دەنوسرێت

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

کە هەمان شت دەردەبڕن دەربارەی لێدوانە کۆد کراوەکانی بیرکاری.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

بەم شێوەیە، کۆدکردن یارمەتی بیرکاری دەدات کە دەربارەی خۆی بدوێت.

Through this method, he was able to write:

بەهۆی ئەم ڕێگایەوە، ئەو توانی دەربارەی

“This statement cannot be proved” as an equation,

“ئەو رستەیە ناتوانرێت بسەلمێنرێت” بنوسێت، وەک پرسیارێک،

creating the first self-referential mathematical statement.

دروستکردنی یەکەم رستەی سەرچاوەی خۆیی بیرکاری.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

هەرچەندە، وەک رستە ناروونەکان نییە کە سروشتیانە بۆی دەهات،

mathematical statements must be true or false.

رستە بیرکارییەکان دەبێت یان راست بێت یان هەڵە.

So which is it?

کەواتە کامەیانە؟

If it’s false, that means the statement does have a proof.

ئەگەر هەڵە بێت، واتا رستەکە دەبێ سەلکاندنێکی هەبێت.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

بەڵام ئەگەر رستەیەکی بیرکاری سەلماندنی هەبێت، کەواتە دەبێت راست بێت.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

ئەو یاسادانانە واتە رستەکەی گۆدڵ ناکرێت هەڵەبێت،

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

بە پێچەوانەوە “ئەو رستەیە ناتوانرێت بسەلمێنرێت” دەبێت راست بێت.

Yet this result is even more surprising,

هێشتا ئەو ئەنجامە کەمێک جێگای سەرسووڕمانە،

because it means we now have a true equation of mathematics

لەبەرئەوەی ئەوە واتا ئێستا ئێمە لە بیرکاری کێشەیەکی تەواومان هەیە

that asserts it cannot be proved.

کە بێگومان ناتوانرێت بسەلمێنرێت.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

ئەو دیاربوونە لە ناو دڵی تیۆریە ناتەواوەکەی گۆدڵە،

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

کە چینێکی تەواو نوێ لە رستەی بیرکاری دەناسێنێت.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

لە نموونەکەی گۆدڵ، هێشتا رستەکان یان راستن یان هەڵەن،

but true statements can either be provable or unprovable

بەڵام رستە راستەکان دەکرێ سەلمێندراو بن یان نەسەلمێندراو

within a given set of axioms.

لە ناو کۆمەڵێک لە ناکۆکیەکان.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

لەوەش زیاتر، گۆدڵ مناقەشەی کرد لەسەر رستە راستە نەسەلمێنراوەکان

exist in every axiomatic system.

کە لە هەموو سیستەمە ناڕوونەکان هەیە.

This makes it impossible to create

ئەمە هەلێکی پێدا بۆ دروستکردنی

a perfectly complete system using mathematics,

سیستەمێکی تەواو بە بەکار هێنانی بیرکاری،

because there will always be true statements we cannot prove.

لەبەرئەوەی دەکرێت هەمیشە رستەی راست هەبێت کە ئێمە نەتوانین بیسەلمێنین.

Even if you account for these unprovable statements

هەتا ئەگەر لێدوانە نەسەلمێنراوەکان بژمێریت

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

بە زیاد کردنیان وەک رستەی نوێی ناڕوون بۆ سیستەمە بیرکارییە گەورە کراوەکە،

that very process introduces new unprovably true statements.

کە زۆر پڕۆسە رستەی نەسەلمێندراوی نوێ بەرهەم دەهێنێت.

No matter how many axioms you add,

گرنگ نییە چەند رستەی ناڕوون زیاد دەکەیت،

there will always be unprovably true statements in your system.

بەڵکو هەمیشە لە سیستەمەکەت رستەی راستی ناکۆکی لەسەری لە سیستەمەکەت دەبێت.

It’s Gödels all the way down!

خوارەوە هەموو رێگاکەی گۆدڵە!

This revelation rocked the foundations of the field,

ئەو وەحیەی گۆدڵ بنچینە سەرەکیەکانی مەیدانەکەی هەژاند،

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

لەناوبردنی خەونی ئەوانەی دەیانگوت رۆژێک هەموو بانگەشەکانی بیرکاری

be proven or disproven.

یان دەسەلمێندرێت یان بەدرۆدەخرێتەوە.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

لەکاتێکدا زۆربەی بیرکاری زانەکان دانیان بەو راستییە نوێیە دانابوو، هەندێکیان —

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

— بەتەواوی گفت و گۆیان لەسەر کرد. ئەوانی تر هەوڵیاندا بەتەواوی پشتگوێی بخەن

in the heart of their field.

کە پەڵەیەکی لەسەر دڵیان بەجێ هێشت لەو بوارە.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

بەڵام وەک زۆربەی کێشە کۆنەکان کە سەلمێندران بە سەلمێندراویش هەر راستن،

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

هەندێک دەستیان کرد بە خەم خواردن لەکارەکانی ژیانیان کە مەحاڵە تەواو بکرێت.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

هێشتا تیرۆرەکەی گۆدڵ کۆمەڵێک دەرگای داخراوی کردەوە.

Knowledge of unprovably true statements

زانستی رستە نەسەلمێندراوە راستەکان

inspired key innovations in early computers.

داهێنانە ئیلهام بەخشەکان لە کۆمپیوتەرە سەرەتاییەکاندا.

And today, some mathematicians dedicate their careers

ئەمرۆ، هەندێ لە بیرکاری زانەکان پیشەکانیان تەرخان دەکەن

to identifying provably unprovable statements.

بۆ جیاکردنەوەی سەلمێندراو و نەسەلمێندراوەکان.

So while mathematicians may have lost some certainty,

لەکاتێکدا، لەوانەیە بیرکانی ناسەکان هەندێک لە دڵنیایەکەیان لە دەست بدەن،

thanks to Gödel they can embrace the unknown

سوپاس بۆ گۆدڵ، ئەوان دەتوانن نەسەلمێندراوەکانیش قبوڵ بکەن

at the heart of any quest for truth.

لە دڵی هەر گەڕانێک بۆ راستی.