The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Tradutor: Yasmin Klär Revisora: Margarida Ferreira

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Considerem a seguinte frase: “Esta afirmação é falsa.”

Is that true?

Isso é verdade?

If so, that would make this statement false.

Se sim, isso faria esta afirmação falsa.

But if it’s false, then the statement is true.

Mas se é falsa, então a declaração é verdadeira.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Referindo-se a si mesmo diretamente, esta declaração cria um paradoxo insolúvel.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Então, se não é verdadeira e não é falsa... o que é?

This question might seem like a silly thought experiment.

Esta questão pode parecer um exercício intelectual idiota.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Mas no início do século XX, levou o lógico austríaco Kurt Gödel

to a discovery that would change mathematics forever.

a uma descoberta que mudaria a matemática para sempre.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

A descoberta de Gödel teve a ver com as limitações das provas matemáticas.

A proof is a logical argument that demonstrates

Uma prova é um argumento lógico que demonstra

why a statement about numbers is true.

porque é que uma afirmação sobre números é verdadeira.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Os blocos de construção desses argumentos são chamados axiomas

undeniable statements about the numbers involved.

— afirmações incontestáveis sobre os números envolvidos.

Every system built on mathematics,

Todos os sistemas baseados na matemática,

from the most complex proof to basic arithmetic,

da prova mais complexa à aritmética básica,

is constructed from axioms.

são construídos a partir de axiomas.

And if a statement about numbers is true,

E se uma afirmação sobre números é verdadeira,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

os matemáticos devem conseguir confirmá-la com uma prova axiomática.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Desde a Grécia antiga, os matemáticos usaram este sistema

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

para provar ou refutar afirmações matemáticas com total certeza.

But when Gödel entered the field,

Mas quando Gödel entrou em campo,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

alguns paradoxos lógicos recém-descobertos estavam a ameaçar essa certeza.

Prominent mathematicians were eager to prove

Matemáticos proeminentes estavam ansiosos por provar

that mathematics had no contradictions.

que a matemática não tinha contradições.

Gödel himself wasn’t so sure.

O próprio Gödel não tinha tanta certeza.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

E ele estava ainda menos confiante que a matemática fosse a ferramenta certa

to investigate this problem.

para investigar este problema.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Embora seja relativamente fácil criar um paradoxo autorreferencial com palavras,

numbers don't typically talk about themselves.

os números normalmente não falam sobre si mesmos.

A mathematical statement is simply true or false.

Uma declaração matemática ou é verdadeira ou é falsa.

But Gödel had an idea.

Mas Gödel teve uma ideia.

Primeiro, traduziu afirmações e equações matemáticas

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

em números de código

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

para poder exprimir uma ideia matemática complexa num só número.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Isso significa que as afirmações matemáticas escritas com esses números

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

também estavam a exprimir algo sobre as declarações codificadas da matemática.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

Desta forma, a codificação permitiu que a matemática falasse sobre si mesma.

Through this method, he was able to write:

Através desse método, ele conseguiu escrever:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“Esta afirmação não pode ser provada” como uma equação,

creating the first self-referential mathematical statement.

criando a primeira declaração matemática autorreferencial.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

No entanto, ao contrário da frase ambígua que o inspirou,

mathematical statements must be true or false.

as declarações matemáticas devem ser verdadeiras ou falsas.

So which is it?

Então, qual delas é?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Se é falsa, isso significa que a declaração pode ser provada.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Mas se uma afirmação matemática pode ser provada, então tem de ser verdadeira.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Esta contradição significa que a declaração de Gödel não pode ser falsa,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

e, portanto, deve ser verdade que “esta afirmação não pode ser provada.”

Yet this result is even more surprising,

Entretanto este resultado é ainda mais surpreendente,

because it means we now have a true equation of mathematics

porque significa que agora temos uma verdadeira equação de matemática

that asserts it cannot be proved.

que afirma que não pode ser provada.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Esta revelação está no cerne do Teorema da Incompletude de Gödel,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

que apresenta uma classe inteiramente nova de afirmações matemáticas.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

No paradigma de Gödel, as afirmações ainda são verdadeiras ou falsas,

but true statements can either be provable or unprovable

mas podemos provar ou não as afirmações verdadeiras

within a given set of axioms.

dentro de um determinado conjunto de axiomas.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Além disso, Gödel argumenta

que estas afirmações verdadeiras que não podemos provar

exist in every axiomatic system.

existem em todos os sistemas axiomáticos.

This makes it impossible to create

Isso torna impossível criar um sistema

a perfectly complete system using mathematics,

perfeitamente completo usando a matemática,

because there will always be true statements we cannot prove.

porque haverá sempre declarações verdadeiras que não podemos provar.

Even if you account for these unprovable statements

Mesmo se levarmos em consideração afirmações impossíveis de provar

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

adicionando-as como novos axiomas a um sistema matemático ampliado,

that very process introduces new unprovably true statements.

esse mesmo processo introduz novas afirmações verdadeiras,

impossíveis de provar.

No matter how many axioms you add,

Não interessa quantos axiomas se adicionarem,

there will always be unprovably true statements in your system.

haverá sempre afirmações verdadeiras, impossíveis de provar, no nosso sistema.

It’s Gödels all the way down!

É Gödels até ao fim!

This revelation rocked the foundations of the field,

Esta revelação abalou os alicerces do terreno,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

esmagando aqueles que sonharam que todas as afirmações matemáticas

be proven or disproven.

seriam um dia provadas ou refutadas.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Enquanto a maioria dos matemáticos aceitou esta nova realidade,

alguns questionaram-na acesamente.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Outros ainda tentaram ignorar o buraco recém-descoberto

in the heart of their field.

no coração do seu terreno.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Mas à medida que se provou que era verdade

ser impossível provar problemas mais clássicos

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

alguns começaram a preocupar-se

porque o seu trabalho duma via inteira seria impossível completar.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

O teorema de Gödel abriu tantas portas quanto fechadas.

O conhecimento de afirmações verdadeiras, mas impossíveis de provar,

Knowledge of unprovably true statements

inspired key innovations in early computers.

inspirou as principais inovações nos primeiros computadores.

And today, some mathematicians dedicate their careers

E hoje, alguns matemáticos dedicam a sua carreira

to identifying provably unprovable statements.

a identificar comprovadamente as afirmações impossíveis de provar.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Assim, embora os matemáticos possam ter perdeu alguma certeza,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

graças a Gödel, podem abraçar o desconhecido

at the heart of any quest for truth.

no cerne de qualquer busca pela verdade.