The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

المترجم: ik -ha المدقّق: Shimaa Nabil

Consider the following sentence: “This statement is false.”

تأمل الجملة التالية: “هذه العبارة خاطئة”.

Is that true?

هل هذا صحيح؟

If so, that would make this statement false.

إذا كانت كذلك، هذا سيجعل العبارة خاطئة.

But if it’s false, then the statement is true.

لكن إذا كانت خاطئة، فإن العبارة بالتالي صحيحة.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

بالإشارة إليها مباشرة، فإن هذه العبارة تخلق تناقضاً لا يمكن حله.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

إذا كانت غير صحيحة وغير خاطئة فماذا يمكن أن تكون؟

This question might seem like a silly thought experiment.

يمكن أن يبدو هذا السؤال كأنه تجربة فلسفية سخيفة.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

لكن في بداية القرن العشرين، قادت هذه الفكرة المفكر النمساوي كورت جودل

to a discovery that would change mathematics forever.

إلى اكتشاف من شأنه أن يغير الرياضيات إلى الأبد.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

كان لاكتشاف جودل علاقة بقيود البراهين الرياضية.

A proof is a logical argument that demonstrates

الدليل هو حجة منطقية توضح

why a statement about numbers is true.

لماذا يكون بيان عن الأرقام صحيحاً.

The building blocks of these arguments are called axioms—

تسمى اللبنات الأساسية لهذه الحجج بالبديهيات-

undeniable statements about the numbers involved.

تصريحات لا يمكن إنكارها عن الأرقام المعنية.

Every system built on mathematics,

كل نظام مبني على الرياضيات،

from the most complex proof to basic arithmetic,

من الدليل الأكثر تعقيداً إلى الحساب الأساسي،

is constructed from axioms.

مبني من البديهيات

And if a statement about numbers is true,

وإذا كان بيان ما حول الأرقام صحيحاً،

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

يجب أن يكون علماء الرياضيات قادرين على تأكيده بإثبات بديهي.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

منذ اليونان القديمة، استخدم علماء الرياضيات هذا النظام

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

لإثبات أو إنكار ادعاءات رياضية بيقين تام.

But when Gödel entered the field,

لكن عندما دخل جودل هذا المجال،

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

تم الكشف حديثاً عن بعض المفارقات المنطقية التي تهدد هذا اليقين.

Prominent mathematicians were eager to prove

كان علماء الرياضيات البارزين حريصين على إثبات

that mathematics had no contradictions.

بأن ليس للرياضيات أية تناقضات.

Gödel himself wasn’t so sure.

لم يكن جودل بنفسه متأكداً.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

وكان أقل ثقة بأن الرياضيات هي الأداة الصحيحة

to investigate this problem.

للتحقيق في هذه المشكلة.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

في حين أنه من السهل إنشاء تناقض مرجعي ذاتي بكلمات،

numbers don't typically talk about themselves.

الأرقام لا تتحدث عادة عن نفسها.

A mathematical statement is simply true or false.

العبارة الرياضية هي ببساطة صحيحة أو خاطئة.

But Gödel had an idea.

لكن جودل كان لديه فكرة.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

أولاً، قام بترجمة البيانات الرياضية والمعادلات إلى أرقام مشفرة

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

ليتمكن من التعبير عن فكرة رياضية معقدة برقم واحد.

This meant that mathematical statements written with those numbers

هذا يعني أن البيانات الرياضية المكتوبة بتلك الأرقام

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

كانت تعبر أيضاً عن شيء ما حول البيانات المشفرة للرياضيات.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

بهذه الطريقة، سمح الترميز للرياضيات بالتعبير عن نفسه.

Through this method, he was able to write:

من خلال هذه الطريقة، تمكن من كتابة:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“لا يمكن إثبات هذا البيان” كمعادلة،

creating the first self-referential mathematical statement.

مما يخلق أول بيان رياضي مرجعي.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

ومع ذلك، بخلاف الجملة الغامضة التي ألهمته،

mathematical statements must be true or false.

يجب أن تكون البيانات الرياضية صحيحة أو خاطئة.

So which is it?

إذن ما هي؟

If it’s false, that means the statement does have a proof.

إذا كان خاطئة، فهذا يعني أن البيان به دليل إثبات.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

لكن إذا كان البيان الرياضي به دليل إثبات، فيجب أن يكون صحيحاً.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

هذا التناقض يعني أن بيان جودل لا يمكن أن يكون خاطئاً،

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

وبالتالي يجب أن يكون صحيحاً أن “هذا البيان لا يمكن إثباته“.

Yet this result is even more surprising,

ومع ذلك، فإن هذه النتيجة أكثر إثارة للدهشة،

because it means we now have a true equation of mathematics

لأنها تعني أنه الآن لدينا معادلة حقيقية للرياضيات

that asserts it cannot be proved.

التي تؤكد أنه لا يمكن إثباتها.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

هذا الاكتشاف هو أساس نظرية جودل الغير مكتملة،

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

والتي تقدم فئة جديدة تماماً من البيان الرياضي.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

في نموذج جودل، لا تزال البيانات إما صحيحة أو خاطئة،

but true statements can either be provable or unprovable

لكن البيانات الحقيقية يمكن أن تكون إما قابلة أو غير قابلة للإثبات

within a given set of axioms.

داخل مجموعة معينة من البديهيات.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

علاوة على ذلك، يناقش جودل هذه البيانات الحقيقة الغير قابلة للإثبات

exist in every axiomatic system.

الموجودة في كل نظام بديهي.

This makes it impossible to create

وهذا يجعل من المستحيل إنشاء

a perfectly complete system using mathematics,

نظام كامل مثالي باستخدام الرياضيات،

because there will always be true statements we cannot prove.

لأنه سيكون هنالك دائماً بيانات حقيقية لايمكن إثباتها.

Even if you account for these unprovable statements

حتى إذا تم حساب هذه البيانات الغير قابلة للإثبات

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

من خلال إضافتها كبديهيات جديدة إلى نظام رياضي،

that very process introduces new unprovably true statements.

فإن هذه العملية ذاتها تقدم بيانات حقيقية جديدة غير مثبتة.

No matter how many axioms you add,

لا يهم عدد البديهيات التي تضيفها،

there will always be unprovably true statements in your system.

سيكون هناك دائماً بيانات غير مثبتة في نظامك.

It’s Gödels all the way down!

إنها تتبع نظرية جودلز على طول الطريق.

This revelation rocked the foundations of the field,

هز هذا الاكتشاف أسس المجال،

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

محطماً أولئك الذين حلموا أن الادعاءات الرياضية ستكون يوماً ما

be proven or disproven.

مثبتة أو غير مثبتة.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

في حين أن معظم علماء الرياضيات تقبلوا هذه الحقيقة الجديدة، أنكر بعضهم ذلك بشدة.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

حاول آخرون تجاهل هذه المشكلة الجديدة

in the heart of their field.

في قلب مجالهم.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

ولكن كلما ازدادت المشاكل الكلاسيكية التي أثبتت أنه لا يمكن تأكيدها،

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

بدأ البعض بالقلق من أن عمل حياتهم سيكون مستحيلاً.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

و مع ذلك، فتحت نظرية جودل الكثير من الأبواب المغلقة.

Knowledge of unprovably true statements

استوحت معرفة البيانات الحقيقة الغير مثبتة

inspired key innovations in early computers.

الابتكارات الرئيسية في أجهزة الحاسوب القديمة.

And today, some mathematicians dedicate their careers

واليوم، يكرس بعض علماء الرياضيات حياتهم المهنية

to identifying provably unprovable statements.

لتحديد البيانات التي لا يمكن إثباتها.

So while mathematicians may have lost some certainty,

لذلك في حين أن بعض علماء الرياضيات قد فقدوا اليقين،

thanks to Gödel they can embrace the unknown

بفضل جودل يمكنهم تقبل المجهول

at the heart of any quest for truth.

في محور أي بحث عن الحقيقة.