The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Tłumaczenie: Alicja Bartczak Korekta: Ola Królikowska

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Rozważmy następujące zdanie: “To twierdzenie jest fałszywe”.

Is that true?

Czy to prawda?

If so, that would make this statement false.

Jeśli tak, twierdzenie jest fałszywe.

But if it’s false, then the statement is true.

Ale jeśli to fałsz, twierdzenie jest prawdą.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Wypowiedź tworzy nierozwiązywalny paradoks, ponieważ dotyczy samej siebie.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Skoro nie jest to ani prawda, ani fałsz, to co to jest?

This question might seem like a silly thought experiment.

To pytanie może się wydawać niemądrym eksperymentem.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Ale na początku XX wieku doprowadziło austriackiego logika Kurta Gödla

to a discovery that would change mathematics forever.

do odkrycia, które na zawsze zmieniło matematykę.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

Odkrycie Gödla wiązało się z ograniczeniami dowodów matematycznych.

A proof is a logical argument that demonstrates

Dowód jest logicznym argumentem, który wykazuje,

why a statement about numbers is true.

dlaczego twierdzenie o liczbach jest prawdziwe.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Elementy składowe tych argumentów są nazywane aksjomatami,

undeniable statements about the numbers involved.

niezaprzeczalnymi dowodami o liczbach, których dotyczą.

Every system built on mathematics,

Każdy system oparty na matematyce,

from the most complex proof to basic arithmetic,

od najbardziej złożonych dowodów do podstawowej arytmetyki,

is constructed from axioms.

jest zbudowany z aksjomatów.

And if a statement about numbers is true,

Jeśli twierdzenie o liczbach jest prawdziwe,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

matematycy powinni móc potwierdzić to aksjomatycznym dowodem.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Od czasów starożytnej Grecji matematycy używali tego systemu,

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

żeby udowadniać lub obalać matematyczne twierdzenia z całkowitą pewnością.

But when Gödel entered the field,

Ale kiedy Gödel wkroczył na scenę,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

nowo odkryte, logiczne paradoksy zaczęły tej pewności zagrażać.

Prominent mathematicians were eager to prove

Wybitni matematycy chcieli udowodnić,

that mathematics had no contradictions.

że w matematyce nie ma sprzeczności.

Gödel himself wasn’t so sure.

Sam Gödel też nie był tego pewny.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

Nie był nawet przekonany, że matematyka to właściwe narzędzie

to investigate this problem.

do rozpatrzenia tego problemu.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Choć stosunkowo łatwo stworzyć samoreferencyjny paradoks za pomocą słów,

numbers don't typically talk about themselves.

liczby zazwyczaj nie mówią o samych sobie.

A mathematical statement is simply true or false.

Matematyczne twierdzenie jest po prostu prawdziwe albo fałszywe.

But Gödel had an idea.

Ale Gödel miał pomysł.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Najpierw przetłumaczył matematyczne twierdzenia i równania na liczby kodowe.

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

Tak złożona matematyczna idea mogła być wyrażona jako pojedynczy numer.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Oznaczało to, że matematyczne twierdzenia zapisane tymi numerami

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

wyrażały także coś na temat zakodowanych twierdzeń matematycznych.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

W ten sposób kodowanie pozwoliło matematyce mówić samej o sobie.

Through this method, he was able to write:

Dzięki tej metodzie Gödel mógł zapisać

“This statement cannot be proved” as an equation,

“To twierdzenie nie może być udowodnione jako równanie”,

creating the first self-referential mathematical statement.

tworząc pierwsze samoreferencyjne matematyczne twierdzenie.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Jednak w odróżnieniu od niejednoznacznego zdania, które go zainspirowało,

mathematical statements must be true or false.

matematyczne twierdzenie musi być prawdziwe lub fałszywe.

So which is it?

Więc jakie jest?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Jeśli jest fałszywe, oznacza to, że twierdzenie nie ma dowodu.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Ale jeśli matematyczne twierdzenie ma dowód, wtedy jest to prawda.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Ta sprzeczność oznacza, że twierdzenie nie może być fałszywe,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

więc musi być prawdą, że “to twierdzenie nie może być udowodnione”.

Yet this result is even more surprising,

Jednak rezultat był jeszcze bardziej zaskakujący,

because it means we now have a true equation of mathematics

bo oznacza to, że mamy teraz prawdziwe równanie matematyczne,

that asserts it cannot be proved.

które nie może być udowodnione.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

To najważniejszy element twierdzenia Gödla o niezupełności,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

co wprowadza zupełnie nową kategorię matematycznych twierdzeń.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

W paradygmacie Gödla twierdzenia dalej są prawdziwe lub fałszywe,

but true statements can either be provable or unprovable

ale prawdziwe twierdzenia mogą dawać się udowodnić lub nie

within a given set of axioms.

w ramach danego zestawu aksjomatów.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Ponadto Gödel stwierdza, że prawdziwe, niedające się udowodnić twierdzenia

exist in every axiomatic system.

istnieją w każdym systemie aksjomatycznym.

This makes it impossible to create

To sprawia, że niemożliwe jest stworzenie

a perfectly complete system using mathematics,

idealnego systemu z użyciem matematyki,

because there will always be true statements we cannot prove.

ponieważ zawsze będą występować prawdziwe twierdzenia, których nie można udowodnić.

Even if you account for these unprovable statements

Nawet jeśli uzasadnisz twierdzenia niedające się udowodnić

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

przez dodanie ich jako aksjomatów do rozszerzonego matematycznego systemu,

that very process introduces new unprovably true statements.

sam ten proces wprowadzi nowe prawdziwe, ale niedające się udowodnić twierdzenia.

No matter how many axioms you add,

Nieważne ile aksjomatów dodasz,

there will always be unprovably true statements in your system.

prawdziwe, niedające się udowodnić twierdzenia zawsze będą w tym systemie.

It’s Gödels all the way down!

Oto twierdzenie Gödla w całej okazałości!

This revelation rocked the foundations of the field,

To odkrycie wstrząsnęło fundamentami całej matematyki,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

miażdżąc tych, którzy marzyli, że pewnego dnia każde twierdzenie

be proven or disproven.

będzie udowodnione albo nieudowodnione.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Podczas gdy większość matematyków poparła nowy porządek, kilku zaciekle debatowało.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Inni dalej próbowali ignorować nowoodkrytą dziurę

in the heart of their field.

w sercu ich dziedziny.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Im więcej klasycznych problemów okazywało się prawdą nie do udowodnienia,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

niektórzy zaczęli się martwić, że dzieło ich życia będzie niemożliwe do ukończenia.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Twierdzenie Gödla otworzyło tyle samo drzwi, co zamknęło.

Knowledge of unprovably true statements

Znajomość prawdziwych twierdzeń nie do udowodnienia

inspired key innovations in early computers.

zainspirowała kluczowe innowacje we wczesnych komputerach.

And today, some mathematicians dedicate their careers

Również dzisiaj niektórzy matematycy poświęcają swoje kariery

to identifying provably unprovable statements.

na szukanie udowodnionych twierdzeń niedających się udowodnić.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Choć matematycy być może stracili poczucie pewności,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

dzięki Gödlowi mogą ogarnąć nieznane

at the heart of any quest for truth.

w samym środku dążenia do prawdy.