The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

3,821,038 views ・ 2021-07-20

TED-Ed


Vă rugăm să faceți dublu clic pe subtitrările în limba engleză de mai jos pentru a reda videoclipul.

Traducător: Bianca Ștefănescu Corector: Claudia Pravat
00:06
Consider the following sentence: “This statement is false.”
0
6913
3958
Luați în considerare următorul enunț: „Această afirmație e falsă.”
00:10
Is that true?
1
10871
1292
E adevărat?
00:12
If so, that would make this statement false.
2
12163
2375
Dacă e, asta ar face afirmația falsă.
00:14
But if it’s false, then the statement is true.
3
14538
2291
Dar dacă e fals, atunci afirmația e adevărată.
00:16
By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.
4
16829
5292
Referindu-se direct la sine, enunțul creează un paradox de nerezolvat.
00:22
So if it’s not true and it’s not false— what is it?
5
22121
3667
Așadar, dacă nu e adevărată și nici falsă, atunci cum e?
00:26
This question might seem like a silly thought experiment.
6
26288
2875
Această întrebare ar putea părea un experiment de gândire absurd.
00:29
But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel
7
29163
4666
Dar la începutul secolului XX, l-a dus pe logicianul austriac Kurt Gödel
00:33
to a discovery that would change mathematics forever.
8
33829
3417
la o descoperire ce avea să schimbe matematica pentru totdeauna.
00:37
Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.
9
37746
4541
Descoperirea lui Gödel a avut de-a face cu limitările dovezilor matematice.
00:42
A proof is a logical argument that demonstrates
10
42496
3166
O dovadă e un argument logic ce demonstrează
00:45
why a statement about numbers is true.
11
45662
2500
că o afirmație despre numere e adevărată.
00:48
The building blocks of these arguments are called axioms—
12
48579
3333
Elementele de bază ale acestor argumente se numesc axiome,
00:51
undeniable statements about the numbers involved.
13
51912
2709
afirmații incontestabile despre numerele implicate.
00:54
Every system built on mathematics,
14
54996
2291
Fiecare sistem bazat pe matematică,
00:57
from the most complex proof to basic arithmetic,
15
57287
3042
de la cea mai complexă demonstrație până la aritmetica de bază,
01:00
is constructed from axioms.
16
60329
2125
e construit din axiome.
01:02
And if a statement about numbers is true,
17
62954
2750
Și dacă o afirmație despre numere e adevărată,
01:05
mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.
18
65704
4584
matematicienii ar trebui să o poată confirma
01:10
Since ancient Greece, mathematicians used this system
19
70788
3208
Încă din Grecia antică, matematicienii au utilizat acest sistem
01:13
to prove or disprove mathematical claims with total certainty.
20
73996
4208
pentru a demonstra sau respinge enunțuri matematice cu certitudine totală.
01:18
But when Gödel entered the field,
21
78496
1917
Dar când Gödel a ajuns în domeniu,
01:20
some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.
22
80413
4750
unele paradoxuri logice nou descoperite amenințau acea certitudine.
01:26
Prominent mathematicians were eager to prove
23
86121
2625
Matematicieni de seamă erau dornici să demonstreze
01:28
that mathematics had no contradictions.
24
88746
2542
faptul că matematica nu avea contradicții.
01:31
Gödel himself wasn’t so sure.
25
91496
2375
Gödel însuși nu era atât de sigur.
01:33
And he was even less confident that mathematics was the right tool
26
93871
4250
Și era și mai puțin încrezător că matematica era instrumentul potrivit
01:38
to investigate this problem.
27
98121
1917
pentru a investiga această problemă.
01:40
While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,
28
100413
4833
Deși e relativ ușor să creezi un paradox autoreferențial folosind cuvinte,
01:45
numbers don't typically talk about themselves.
29
105246
3250
numerele nu vorbesc de obicei despre ele însele.
01:48
A mathematical statement is simply true or false.
30
108829
3209
Un enunț matematic e pur și simplu adevărat sau fals.
01:52
But Gödel had an idea.
31
112038
1541
Dar Gödel a avut o idee.
01:54
First, he translated mathematical statements and equations into code numbers
32
114038
4833
Pentru început, a tradus enunțuri și ecuații matematice în numere de cod,
01:58
so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.
33
118871
4292
astfel încât o idee matematică complexă putea fi exprimată într-un singur număr.
02:03
This meant that mathematical statements written with those numbers
34
123621
3583
Asta însemna că afirmațiile matematice scrise cu acele numere
02:07
were also expressing something about the encoded statements of mathematics.
35
127204
4459
exprimau, de asemenea, ceva despre enunțurile codificate ale matematicii.
02:12
In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.
36
132288
4125
În acest mod, codificarea i-a permis matematicii să vorbească despre sine.
02:16
Through this method, he was able to write:
37
136746
2542
Prin această metodă, el a reușit să scrie:
02:19
“This statement cannot be proved” as an equation,
38
139288
3458
„Această afirmație nu poate fi dovedită” sub forma unei ecuații,
02:22
creating the first self-referential mathematical statement.
39
142746
3750
creând primul enunț matematic autoreferențial.
02:27
However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,
40
147413
3500
Totuși, spre deosebire de fraza ambiguă care l-a inspirat pe el,
02:30
mathematical statements must be true or false.
41
150913
3458
enunțurile matematice trebuie să fie adevărate sau false.
02:34
So which is it?
42
154579
1500
Deci care e adevărul?
02:36
If it’s false, that means the statement does have a proof.
43
156371
3542
Dacă e fals, înseamnă că enunțul are o dovadă.
02:39
But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.
44
159913
3958
Dar dacă un enunț matematic are o dovadă, el trebuie să fie adevărat.
02:44
This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,
45
164413
4166
Această contradicție înseamnă că enunțul lui Gödel nu poate fi fals
02:48
and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”
46
168579
4875
și prin urmare e adevărat că: „această afirmație nu poate fi dovedită.”
02:54
Yet this result is even more surprising,
47
174329
2584
Dar acest rezultat e și mai surprinzător,
02:56
because it means we now have a true equation of mathematics
48
176913
4083
deoarece înseamnă că acum avem o ecuație adevărată de matematică,
03:00
that asserts it cannot be proved.
49
180996
2667
care afirmă că nu poate fi demonstrată.
03:04
This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,
50
184121
4750
Această revelație se află la baza Teoremei de Incompletitudine a lui Gödel,
03:08
which introduces an entirely new class of mathematical statement.
51
188871
4250
ce introduce o clasă complet nouă de afirmații matematice.
03:13
In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,
52
193121
4375
În paradigma lui Gödel, enunțurile sunt fie adevărate, fie false,
03:17
but true statements can either be provable or unprovable
53
197621
4542
dar cele adevărate pot fi la rândul lor fie demonstrabile, fie nedemonstrabile
03:22
within a given set of axioms.
54
202163
2375
în cadrul unui set de axiome dat.
03:24
Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements
55
204746
4708
În plus, Gödel susține faptul că aceste enunțuri nedemonstrabile adevărate
03:29
exist in every axiomatic system.
56
209454
2917
există în fiecare sistem axiomatic.
03:32
This makes it impossible to create
57
212788
2208
Acest lucru face imposibilă crearea
03:34
a perfectly complete system using mathematics,
58
214996
3333
unui sistem perfect complet utilizând matematica,
03:38
because there will always be true statements we cannot prove.
59
218329
4042
deoarece vor exista mereu afirmații adevărate pe care nu le putem demonstra.
03:42
Even if you account for these unprovable statements
60
222704
2667
Chiar dacă luăm în considerare aceste enunțuri nedemonstrabile,
03:45
by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,
61
225371
4042
când le adăugăm ca noi axiome la un sistem matematic extins,
03:49
that very process introduces new unprovably true statements.
62
229704
5000
însuși procesul introduce noi afirmații adevărate de nedemonstrat.
03:55
No matter how many axioms you add,
63
235121
2292
Indiferent cât de multe axiome adăugăm,
03:57
there will always be unprovably true statements in your system.
64
237413
4041
vor exista mereu în sistem enunțuri adevărate nedemonstrabile.
04:01
It’s Gödels all the way down!
65
241454
2167
Un paradox infinit!
04:04
This revelation rocked the foundations of the field,
66
244163
3041
Revelația a cutremurat temeliile domeniului,
04:07
crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day
67
247204
4125
zdrobindu-i pe cei care visau că într-o zi
fiecare afirmație matematică va fi dovedită sau infirmată.
04:11
be proven or disproven.
68
251329
2000
04:13
While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.
69
253788
4916
În timp ce majoritatea au acceptat noua realitate, unii au dezbătut-o cu ardoare.
04:18
Others still tried to ignore the newly uncovered a hole
70
258954
3542
Alții încă au încercat să ignore un gol abia descoperit
04:22
in the heart of their field.
71
262496
1875
în inima domeniului lor.
04:24
But as more classical problems were proven to be unprovably true,
72
264371
4417
Dar cu cât mai multe probleme clasice s-au dovedit nedemonstrabil adevărate,
04:28
some began to worry their life's work would be impossible to complete.
73
268788
4625
unii au început să se îngrijoreze că munca lor va fi imposibil de finalizat.
04:33
Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.
74
273413
3833
Totuși, teorema lui Gödel a deschis tot atâtea uși câte a închis.
04:37
Knowledge of unprovably true statements
75
277246
2625
Cunoașterea afirmațiilor nedemonstrabil adevărate
04:39
inspired key innovations in early computers.
76
279871
3208
a inspirat inovații cheie în primele computere.
04:43
And today, some mathematicians dedicate their careers
77
283329
3084
Și astăzi, unii matematicieni își consacră cariera
04:46
to identifying provably unprovable statements.
78
286413
3166
identificării afirmațiilor demonstrabil de nedovedit.
04:49
So while mathematicians may have lost some certainty,
79
289871
3083
În timp ce matematicienii au pierdut din certitudine,
04:52
thanks to Gödel they can embrace the unknown
80
292954
2792
mulțumită lui Gödel ei pot îmbrățișa necunoscutul
04:55
at the heart of any quest for truth.
81
295746
2417
din inima căutării adevărului.
Despre acest site

Acest site vă va prezenta videoclipuri de pe YouTube care sunt utile pentru a învăța limba engleză. Veți vedea lecții de engleză predate de profesori de top din întreaga lume. Faceți dublu clic pe subtitrările în limba engleză afișate pe fiecare pagină video pentru a reda videoclipul de acolo. Subtitrările se derulează în sincron cu redarea videoclipului. Dacă aveți comentarii sau solicitări, vă rugăm să ne contactați folosind acest formular de contact.

https://forms.gle/WvT1wiN1qDtmnspy7