The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Traducător: Bianca Ștefănescu Corector: Claudia Pravat

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Luați în considerare următorul enunț: „Această afirmație e falsă.”

Is that true?

E adevărat?

If so, that would make this statement false.

Dacă e, asta ar face afirmația falsă.

But if it’s false, then the statement is true.

Dar dacă e fals, atunci afirmația e adevărată.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Referindu-se direct la sine, enunțul creează un paradox de nerezolvat.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Așadar, dacă nu e adevărată și nici falsă, atunci cum e?

This question might seem like a silly thought experiment.

Această întrebare ar putea părea un experiment de gândire absurd.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Dar la începutul secolului XX, l-a dus pe logicianul austriac Kurt Gödel

to a discovery that would change mathematics forever.

la o descoperire ce avea să schimbe matematica pentru totdeauna.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

Descoperirea lui Gödel a avut de-a face cu limitările dovezilor matematice.

A proof is a logical argument that demonstrates

O dovadă e un argument logic ce demonstrează

why a statement about numbers is true.

că o afirmație despre numere e adevărată.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Elementele de bază ale acestor argumente se numesc axiome,

undeniable statements about the numbers involved.

afirmații incontestabile despre numerele implicate.

Every system built on mathematics,

Fiecare sistem bazat pe matematică,

from the most complex proof to basic arithmetic,

de la cea mai complexă demonstrație până la aritmetica de bază,

is constructed from axioms.

e construit din axiome.

And if a statement about numbers is true,

Și dacă o afirmație despre numere e adevărată,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

matematicienii ar trebui să o poată confirma

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Încă din Grecia antică, matematicienii au utilizat acest sistem

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

pentru a demonstra sau respinge enunțuri matematice cu certitudine totală.

But when Gödel entered the field,

Dar când Gödel a ajuns în domeniu,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

unele paradoxuri logice nou descoperite amenințau acea certitudine.

Prominent mathematicians were eager to prove

Matematicieni de seamă erau dornici să demonstreze

that mathematics had no contradictions.

faptul că matematica nu avea contradicții.

Gödel himself wasn’t so sure.

Gödel însuși nu era atât de sigur.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

Și era și mai puțin încrezător că matematica era instrumentul potrivit

to investigate this problem.

pentru a investiga această problemă.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Deși e relativ ușor să creezi un paradox autoreferențial folosind cuvinte,

numbers don't typically talk about themselves.

numerele nu vorbesc de obicei despre ele însele.

A mathematical statement is simply true or false.

Un enunț matematic e pur și simplu adevărat sau fals.

But Gödel had an idea.

Dar Gödel a avut o idee.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Pentru început, a tradus enunțuri și ecuații matematice în numere de cod,

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

astfel încât o idee matematică complexă putea fi exprimată într-un singur număr.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Asta însemna că afirmațiile matematice scrise cu acele numere

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

exprimau, de asemenea, ceva despre enunțurile codificate ale matematicii.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

În acest mod, codificarea i-a permis matematicii să vorbească despre sine.

Through this method, he was able to write:

Prin această metodă, el a reușit să scrie:

“This statement cannot be proved” as an equation,

„Această afirmație nu poate fi dovedită” sub forma unei ecuații,

creating the first self-referential mathematical statement.

creând primul enunț matematic autoreferențial.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Totuși, spre deosebire de fraza ambiguă care l-a inspirat pe el,

mathematical statements must be true or false.

enunțurile matematice trebuie să fie adevărate sau false.

So which is it?

Deci care e adevărul?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Dacă e fals, înseamnă că enunțul are o dovadă.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Dar dacă un enunț matematic are o dovadă, el trebuie să fie adevărat.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Această contradicție înseamnă că enunțul lui Gödel nu poate fi fals

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

și prin urmare e adevărat că: „această afirmație nu poate fi dovedită.”

Yet this result is even more surprising,

Dar acest rezultat e și mai surprinzător,

because it means we now have a true equation of mathematics

deoarece înseamnă că acum avem o ecuație adevărată de matematică,

that asserts it cannot be proved.

care afirmă că nu poate fi demonstrată.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Această revelație se află la baza Teoremei de Incompletitudine a lui Gödel,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

ce introduce o clasă complet nouă de afirmații matematice.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

În paradigma lui Gödel, enunțurile sunt fie adevărate, fie false,

but true statements can either be provable or unprovable

dar cele adevărate pot fi la rândul lor fie demonstrabile, fie nedemonstrabile

within a given set of axioms.

în cadrul unui set de axiome dat.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

În plus, Gödel susține faptul că aceste enunțuri nedemonstrabile adevărate

exist in every axiomatic system.

există în fiecare sistem axiomatic.

This makes it impossible to create

Acest lucru face imposibilă crearea

a perfectly complete system using mathematics,

unui sistem perfect complet utilizând matematica,

because there will always be true statements we cannot prove.

deoarece vor exista mereu afirmații adevărate pe care nu le putem demonstra.

Even if you account for these unprovable statements

Chiar dacă luăm în considerare aceste enunțuri nedemonstrabile,

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

când le adăugăm ca noi axiome la un sistem matematic extins,

that very process introduces new unprovably true statements.

însuși procesul introduce noi afirmații adevărate de nedemonstrat.

No matter how many axioms you add,

Indiferent cât de multe axiome adăugăm,

there will always be unprovably true statements in your system.

vor exista mereu în sistem enunțuri adevărate nedemonstrabile.

It’s Gödels all the way down!

Un paradox infinit!

This revelation rocked the foundations of the field,

Revelația a cutremurat temeliile domeniului,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

zdrobindu-i pe cei care visau că într-o zi

fiecare afirmație matematică va fi dovedită sau infirmată.

be proven or disproven.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

În timp ce majoritatea au acceptat noua realitate, unii au dezbătut-o cu ardoare.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Alții încă au încercat să ignore un gol abia descoperit

in the heart of their field.

în inima domeniului lor.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Dar cu cât mai multe probleme clasice s-au dovedit nedemonstrabil adevărate,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

unii au început să se îngrijoreze că munca lor va fi imposibil de finalizat.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Totuși, teorema lui Gödel a deschis tot atâtea uși câte a închis.

Knowledge of unprovably true statements

Cunoașterea afirmațiilor nedemonstrabil adevărate

inspired key innovations in early computers.

a inspirat inovații cheie în primele computere.

And today, some mathematicians dedicate their careers

Și astăzi, unii matematicieni își consacră cariera

to identifying provably unprovable statements.

identificării afirmațiilor demonstrabil de nedovedit.

So while mathematicians may have lost some certainty,

În timp ce matematicienii au pierdut din certitudine,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

mulțumită lui Gödel ei pot îmbrățișa necunoscutul

at the heart of any quest for truth.

din inima căutării adevărului.