The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Traduttore: Chiara Polesinanti Revisore: Samridh Aggarwal

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Considera la seguente frase: “Questo enunciato è falso”.

Is that true?

È vera?

Se sì, ciò renderebbe questo enunciato falso.

If so, that would make this statement false.

But if it’s false, then the statement is true.

Ma se è falsa, allora l’enunciato è vero.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Riferendosi direttamente a sé,

questo enunciato genera un paradosso irrisolvibile.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Ma se non è vero e non è falso, cos’è?

This question might seem like a silly thought experiment.

La domanda potrebbe sembrare un futile esperimento mentale.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Ma all’inizio del XX secolo, portò il logico austriaco Kurt Gödel

to a discovery that would change mathematics forever.

a una scoperta che avrebbe cambiato la matematica per sempre.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

La scoperta di Gödel era collegata ai limiti delle dimostrazioni matematiche.

A proof is a logical argument that demonstrates

Una dimostrazione è un’argomentazione logica

che dimostra perché è vero un dato enunciato relativo ai numeri.

why a statement about numbers is true.

The building blocks of these arguments are called axioms—

I mattoncini di queste argomentazioni si chiamano assiomi,

undeniable statements about the numbers involved.

enunciati incontrovertibili relative ai numeri in questione.

Every system built on mathematics,

Qualsiasi sistema fondato sulla matematica,

from the most complex proof to basic arithmetic,

dalla dimostrazione più complessa all’aritmetica di base,

is constructed from axioms.

è costruito a partire dagli assiomi.

And if a statement about numbers is true,

E se un enunciato relativo ai numeri è vero,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

i matematici dovrebbero poterlo confermare con una dimostrazione assiomatica.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Dall’antica Grecia i matematici usavano questo sistema

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

per dimostrare o confutare le asserzioni matematiche

con certezza assoluta.

But when Gödel entered the field,

Ma quando arrivò Gödel,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

si erano da poco scoperti dei paradossi logici

che minacciano tale certezza.

Prominent mathematicians were eager to prove

Illustri matematici non vedevano l’ora di dimostrare

that mathematics had no contradictions.

che la matematica non aveva contraddizioni.

Gödel himself wasn’t so sure.

Gödel invece non ne era così sicuro.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

Ed era ancor meno convinto

che la matematica fosse lo strumento giusto

to investigate this problem.

per investigare il problema.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Sebbene sia abbastanza semplice creare un paradosso autoreferenziale

con le parole

numbers don't typically talk about themselves.

i numeri di solito non parlano di sé stessi.

A mathematical statement is simply true or false.

Un enunciato matematico è semplicemente vero o falso.

But Gödel had an idea.

Ma Gödel ebbe un’idea.

Primo, trasformò le equazioni e gli enunciati matematici

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

in un codice numerico

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

così che un’idea matematica complessa

potesse essere espressa con un singolo numero.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Questo significava che gli enunciati matematici scritti usando quei numeri

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

esprimevano anche qualcosa riguardo gli enunciati della matematica codificati.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

In questo modo, la codifica permise alla matematica di parlare di sé.

Through this method, he was able to write:

Usando questo metodo, fu in grado di scrivere:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“Questo enunciato non può essere dimostrato”

in forma di equazione,

creating the first self-referential mathematical statement.

creando il primo enunciato matematico autoreferenziale.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Tuttavia, diversamente dalla frase ambigua che lo ispirò,

mathematical statements must be true or false.

gli enunciati matematici devono essere veri o falsi.

So which is it?

Quindi quale delle due?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Se è falso, significa che l’enunciato ha una dimostrazione.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Ma se un enunciato matematico ha una dimostrazione,

allora deve essere vero.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Questa contraddizione significa

che l’enunciato di Gödel non può essere falso,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

pertanto deve essere vero

che “questo enunciato non può essere dimostrato”.

Yet this result is even more surprising,

E questo risultato è oltremodo sorprendente,

because it means we now have a true equation of mathematics

perché indica che ora abbiamo un’equazione matematica vera

that asserts it cannot be proved.

che asserisce di non poter essere dimostrata.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Questa rivelazione è al centro del Teorema di incompletezza di Gödel

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

che introduce una classe interamente nuova di enunciati matematici.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

Nel paradigma di Gödel, gli enunciati sono ancora o veri o falsi,

but true statements can either be provable or unprovable

ma gli enunciati veri possono essere dimostrabili o non dimostrabili

within a given set of axioms.

all’interno di un dato insieme di assiomi.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Inoltre, Gödel sostiene che questi enunciati veri non dimostrabili

exist in every axiomatic system.

esistono in tutti i sistemi assiomatici.

This makes it impossible to create

Questo rende impossibile creare un sistema coerente e completo

a perfectly complete system using mathematics,

usando la matematica,

because there will always be true statements we cannot prove.

perché ci saranno sempre enunciati veri che non possiamo dimostrare.

Even if you account for these unprovable statements

Anche se si legittimano questi enunciati non dimostrabili

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

aggiungendoli come nuovi assiomi a un più ampio sistema matematico,

that very process introduces new unprovably true statements.

questo stesso processo introduce nuovi enunciati non dimostrabili.

No matter how many axioms you add,

Non importa quanti assiomi si aggiungano,

there will always be unprovably true statements in your system.

nel sistema ci saranno sempre enunciati veri non dimostrabili.

It’s Gödels all the way down!

È Gödel fino in fondo!

This revelation rocked the foundations of the field,

Questa rivelazione scosse le fondamento del campo,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

facendo a pezzi quelli che sognavano che tutte le asserzioni matematiche

potessero un giorno essere dimostrate o confutate.

be proven or disproven.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Mentre la maggior parte dei matematici accettò questa nuova realtà,

alcuni la discussero con fervore.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Altri cercarono perfino di ignorare la lacuna appena scoperta

in the heart of their field.

al centro del loro campo.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Ma quando altri problemi classici vennero dimostrati essere indimostrabilmente veri,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

alcuni iniziarono a temere

che il loro lavoro di una vita sarebbe stato impossibile da completare.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Comunque, il teorema di Gödel aprì tante porte quante ne chiuse.

Knowledge of unprovably true statements

La conoscenza degli enunciati veri indimostrabili

inspired key innovations in early computers.

ispirò innovazioni chiave nei primi computer.

And today, some mathematicians dedicate their careers

E oggi, alcuni matematici dedicano la propria carriera

to identifying provably unprovable statements.

a identificare in modo dimostrabile gli enunciati indimostrabili.

So while mathematicians may have lost some certainty,

I matematici potranno anche aver perso qualche certezza,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

ma grazie a Gödel possono accogliere l’ignoto

at the heart of any quest for truth.

al cuore di ogni ricerca della verità.