The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Traducteur: Claire Ghyselen Relecteur: eric vautier

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Considérez la phrase suivante : «Cet énoncé est faux».

Is that true?

Est-ce vrai ?

If so, that would make this statement false.

Si oui, cela le rendrait faux.

But if it’s false, then the statement is true.

Mais si c’est faux, alors l’énoncé est vrai.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

En se référant directement à lui-même, cet énoncé crée un paradoxe insoluble.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Donc si ce n’est ni vrai ni faux, qu’est-ce que c’est ?

Cette question peut sembler comme une expérience de pensée insensée.

This question might seem like a silly thought experiment.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Mais au début du 20e siècle, il a conduit le logicien autrichien Kurt Gödel

to a discovery that would change mathematics forever.

à une découverte qui allait changer les mathématiques pour toujours.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

La découverte de Gödel est en lien avec les limites des preuves mathématiques.

A proof is a logical argument that demonstrates

Une démonstration est un argument logique qui démontre

why a statement about numbers is true.

pourquoi un énoncé sur les nombres est vrai.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Les éléments constitutifs de ces arguments sont appelés axiomes,

undeniable statements about the numbers involved.

des énoncés indéniables sur les nombres concernés.

Every system built on mathematics,

Tout système construit sur les mathématiques,

from the most complex proof to basic arithmetic,

de la démonstration la plus complexe à l’arithmétique de base,

is constructed from axioms.

est construit à partir d’axiomes.

And if a statement about numbers is true,

Et si une affirmation sur les nombres est vraie,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

les mathématiciens doivent le confirmer avec une preuve axiomatique.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Depuis la Grèce antique, les mathématiciens ont utilisé ce système

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

pour prouver ou réfuter des affirmations mathématiques avec certitude.

But when Gödel entered the field,

Mais quand Gödel est arrivé,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

quelques paradoxes logiques nouvellement découverts menaçaient cette certitude.

Prominent mathematicians were eager to prove

D’éminents mathématiciens étaient impatients prouver

that mathematics had no contradictions.

que les mathématiques n’avaient pas de contradictions.

Gödel himself wasn’t so sure.

Gödel lui-même n’en était pas si sûr.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

Et il était encore moins confiant que les mathématiques soient le bon outil

to investigate this problem.

pour analyser ce problème.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Bien qu’il soit relativement facile de créer un paradoxe

qui fasse référence à lui-même avec des mots,

numbers don't typically talk about themselves.

les chiffres ne parlent généralement pas d’eux-mêmes.

A mathematical statement is simply true or false.

Un énoncé mathématique est simplement vrai ou faux.

But Gödel had an idea.

Mais Gödel a eu une idée.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Il a traduit des énoncés mathématiques et des équations en code numérique

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

pour qu’une idée mathématique complexe puisse être exprimée en un seul nombre.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Cela signifiait que les énoncés mathématiques écrits avec ces nombres

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

exprimaient aussi quelque chose à propos de ces énoncés codés des mathématiques.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

De cette façon, le codage a permis aux mathématiques de parler d’elles-mêmes.

Through this method, he was able to write:

Grâce à cette méthode, il a pu écrire :

“This statement cannot be proved” as an equation,

«Cet énoncé ne peut pas être démontré», sous forme d’équation,

creating the first self-referential mathematical statement.

créant ainsi le premier énoncé mathématique faisant référence à lui-même.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Cependant, contrairement à l’ambiguïté de la phrase qui l’a inspiré,

mathematical statements must be true or false.

les énoncés mathématiques doivent être vrai ou faux.

So which is it?

Alors quel est l’état juste ?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Si c’est faux, cela signifie que l’énoncé a une preuve.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Mais si un énoncé mathématique a une démonstration, alors il être vrai.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Cette contradiction signifie

que l’énoncé de Gödel ne peut pas être faux,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

et donc il doit être vrai que «cet énoncé ne peut pas être démontré.»

Yet this result is even more surprising,

Pourtant, ce résultat est encore plus surprenant,

because it means we now have a true equation of mathematics

car cela signifie que nous avons maintenant une vraie équation mathématique

that asserts it cannot be proved.

qui affirme qu’elle ne peut pas être démontrée.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Cette révélation est au cœur du théorème d’incomplétude de Gödel,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

qui introduit une toute nouvelle classe d’énoncés mathématiques.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

Dans le paradigme de Gödel, les énoncés sont vrais ou faux,

but true statements can either be provable or unprovable

mais les vrais énoncés peuvent être démontrables ou non démontrables

within a given set of axioms.

dans un ensemble donné d’axiomes.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

De plus, Gödel soutient que ces énoncés vrais non démontrables

exist in every axiomatic system.

existent dans chaque système axiomatique.

This makes it impossible to create

Cela rend impossible la création

a perfectly complete system using mathematics,

d’un système parfaitement complet qui utilise les mathématiques,

because there will always be true statements we cannot prove.

car il y aura toujours des énoncés vrais que nous ne pourrons pas prouver.

Even if you account for these unprovable statements

Même si on prend en compte ces énoncés non démontrables

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

en les ajoutant comme nouveaux axiomes à un système mathématique élargi,

that very process introduces new unprovably true statements.

ce processus même introduit de nouveaux énoncés indubitablement vrais.

Peu importe le nombre d’axiomes que l’on ajoute,

No matter how many axioms you add,

there will always be unprovably true statements in your system.

il y aura toujours un énoncé vrai non démontrable dans le système.

It’s Gödels all the way down!

Gödel est omniprésent !

This revelation rocked the foundations of the field,

Cette révélation a bouleversé les fondations du domaine,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

écrasant ceux qui rêvaient que chaque énoncé mathématique puisse un jour

be proven or disproven.

être démontré ou réfuté.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

La plupart des mathématiciens ont accepté cette nouvelle réalité,

d’autres l’ont combattue avec ferveur.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Et d’autres encore essaient d’ignorer cet espace neuf découvert

in the heart of their field.

dans leur domaine.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Comme davantage de problèmes classiques furent démontrés

être indémontrablement vrais,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

certains ont commencé à s’inquiéter

de voir le travail de leur vie impossible à accomplir.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Pourtant, le théorème de Gödel a ouvert autant de portes qu’il en a fermé.

Knowledge of unprovably true statements

La connaissance d’énoncés vrais non démontrables

inspired key innovations in early computers.

a inspiré des innovations cruciales dans les premiers ordinateurs.

And today, some mathematicians dedicate their careers

Et aujourd’hui, certains mathématiciens consacrent leur carrière

to identifying provably unprovable statements.

à identifier de manière démontrable les énoncés non démontrables.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Si les mathématiciens ont perdu un peu de certitude,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

grâce à Gödel, elles peuvent se lancer vers l’inconnu,

at the heart of any quest for truth.

le cœur de toute quête de vérité.