The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

תרגום: Ido Dekkers עריכה: zeeva livshitz

Consider the following sentence: “This statement is false.”

שיקלו את המשפט הבא: “המשפט הזה שקרי.”

Is that true?

האם זה נכון?

If so, that would make this statement false.

אם כך, זה יהפוך את ההכרזה לשקרית.

But if it’s false, then the statement is true.

אבל אם היא לא נכונה, אז ההכרזה היא אמת.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

על ידי התייחסות לעצמו ישירות, ההכרזה הזו יוצרת פרדוקס בלתי ניתן לפתירה.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

אז אם הוא לא אמת ולא שקר -- מה הוא?

This question might seem like a silly thought experiment.

השאלה הזו אולי נראית כמו נסיון מחשבתי מטופש.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

אבל בתחילת המאה ה 20, הוא הובילה את הלוגיקן האוסטרי קורט גודל

to a discovery that would change mathematics forever.

לגילוי שיוביל לשינוי במתמטיקה לעד.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

הגילוי של גודל היה קשור למגבלות של הוכחות מתמטיות.

A proof is a logical argument that demonstrates

הוכחה היא טעון לוגי שמדגים

why a statement about numbers is true.

למה הכרזה בנוגע למספרים נכונה.

The building blocks of these arguments are called axioms—

אבני הבניין של ההכרזות האלו נקראות אקסיומות --

undeniable statements about the numbers involved.

הכרזות שלא ניתן להפריך בנוגע למספרים המעורבים.

Every system built on mathematics,

כל מערכת שבנויה על מתמטיקה,

from the most complex proof to basic arithmetic,

מההוכחה הכי מורכבת לחשבון הכי פשוט,

is constructed from axioms.

מורכבת מאקסיומות.

And if a statement about numbers is true,

ואם הכרזה על מספרים נכונה,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

מתמטיקאים צריכים להיות מסוגלים לאשרר אותה עם הוכחה אקסיומטית.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

מאז היוונים העתיקים, מתמטיקאים השתמשו במערכת הזו

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

כדי להוכיח ולהפריך טענות מתמטיות עם ודאות מוחלטת.

But when Gödel entered the field,

אבל כשגודל נכנס לתחום,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

כמה פרדוקסים לוגיים שהתגלו לאחרונה איימו על הוודאות הזו.

Prominent mathematicians were eager to prove

מתמטיקאים בולטים היו להוטים להוכיח

that mathematics had no contradictions.

שבמתמטיקה לא היו סתירות.

Gödel himself wasn’t so sure.

גודל עצמו לא היה בטוח.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

והוא היה אפילו פחות בטוח שמתמטיקה היתה הכלי הנכון

to investigate this problem.

כדי לחקור את הבעיה.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

בזמן שזה יחסית קל ליצור פרדוקס שמתייחס לעצמו עם מילים,

numbers don't typically talk about themselves.

מספרים לא מדברים על עצמם באופן טיפוסי.

A mathematical statement is simply true or false.

מערכת מתמטית היא פשוט נכונה או לא.

But Gödel had an idea.

אבל לגודל היה רעיון.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

ראשית, הוא תרגם הצהרות מתמטיות ומשוואות למספרי קוד

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

כך שרעיון מתמטי מורכב יכול להיות מובע במספר בודד.

This meant that mathematical statements written with those numbers

זה אומר שהכרזות מתמטיות שנכתבות במספרים האלה

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

הביעו גם משהו בנוגע להכרזות המקודדות של המתמטיקה.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

בדרך זו, הקידוד מאפשר למתמטיקה לדבר על עצמה.

Through this method, he was able to write:

דרך השיטה הזו, הוא היה מסוגל לכתוב:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“ההכרזה הזו לא יכולה להיות מוכחת” כמשוואה,

creating the first self-referential mathematical statement.

מה שיוצר את ההכרזה המתמטית הראשונה המתייחסת לעצמה.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

עם זאת, למשפט הדו משמעי שנתן לו השראה,

mathematical statements must be true or false.

הכרזות מתמטיות חייבות להיות נכונות או לא.

So which is it?

אז מה זה יהיה?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

אם היא שקרית, זה אומר שלהכרזה יש הוכחה.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

אבל אם להכרזה מתמטית יש הוכחה, אז היא חייבת להיות נכונה.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

הסתירה הזו אומרת שההכרזה של גודל לא יכולה להיות שקרית,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

ולכן זה חייב להיות נכון ש“ההצהרה הזו לא יכולה להיות מוכחת.”

Yet this result is even more surprising,

ועדיין התוצאה הזו היא אפילו יותר מפתיעה,

because it means we now have a true equation of mathematics

בגלל שזה אומר שיש לנו עכשיו משוואת אמת במתמטיקה

that asserts it cannot be proved.

שמניחה שהיא לא יכולה להיות מוכחת.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

הגילוי הזה הוא בלב תאוריית האי שלמות של גודל,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

שמציגה מחלקה חדשה לגמרי של הכרזות מתמטיות.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

בפרדיגמה של גודל, הכרזות הן עדיין אמת או שקר,

but true statements can either be provable or unprovable

אבל הכרזות אמת יכולות או להיות מוכחות או לא

within a given set of axioms.

בתוך סט נתון של אקסיומות.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

בנוסף, גודל טוען שההנחות הנכונות הבלתי ניתנות להוכחה

exist in every axiomatic system.

קיימות בכל מערכת אקסיומטית.

This makes it impossible to create

זה הופך את זה לבלתי ניתן ליצור

a perfectly complete system using mathematics,

מערכת מושלמת לגמרי בשימוש במתמטיקה,

because there will always be true statements we cannot prove.

בגלל שתמיד יהיו הנחות נכונות שלא נוכל להוכיח.

Even if you account for these unprovable statements

אפילו אם מתחשבים בהנחות הבלתי ניתנות להוכחה האלו

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

על ידי הוספתן כאקסיומות חדשות כדי להגדיל את המערכת המתמטית,

that very process introduces new unprovably true statements.

התהליך הזה מציג הנחות נכונות שלא ניתן להוכיח.

No matter how many axioms you add,

לא משנה כמה אקסיומות אתם מוסיפים,

there will always be unprovably true statements in your system.

תמיד יהיו הנחות נכונות שלא ניתן להוכיח במערכת שלכם.

It’s Gödels all the way down!

זה גודל כל הדרך למטה!

This revelation rocked the foundations of the field,

הגילוי הזה זיעזע את היסודות של התחום,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

וריסק את אלו שחלמו שכל טענה מתמטית יום אחד

be proven or disproven.

תוכח או תופרח.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

בזמן שרוב המתמטיקאים קיבלו את המציאות החדשה, כמה התווכחו איתה בלהיטות.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

אחרים עדיין ניסו להתעלם מהחור החדש שהתגלה

in the heart of their field.

בלב התחום שלהם.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

אבל ככל שיותר בעיות קלאסיות הוכחו כנכונות ובלתי ניתנות להוכחה,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

כמה החלו לדאוג שעבודת החיים שלהם תהיה בלתי ניתנת להשלמה.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

ועדיין, התאוריה של גודל פתחה הרבה דלתות כמו שפתחה.

Knowledge of unprovably true statements

ידע של הנחות נכונות בלתי ניתנות להוכחה

inspired key innovations in early computers.

נתנו השראה להמצאות חשובות במחשוב המוקדם.

And today, some mathematicians dedicate their careers

והיום, כמה מתמטיקאים מקדישים את הקריירה שלהם

to identifying provably unprovable statements.

כדי לזהות הנחות שניתן להוכיח שלא ניתן להוכיח אותן.

So while mathematicians may have lost some certainty,

אז בזמן שמתמטיקאים אולי איבדו חלק מהוודאות,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

תודות לגודל הם אימצו את הבלתי ידוע

at the heart of any quest for truth.

בלב כל מסע לאמת.