The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Translator: Hoang Anh Du Reviewer: Lam Nguyen

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Hãy xem xét câu sau: “Mệnh đề này là sai.”

Is that true?

Vậy câu đó đúng không?

If so, that would make this statement false.

Nếu đúng, nó lại làm mệnh đề này sai.

But if it’s false, then the statement is true.

Nhưng nếu nó sai thì mệnh đề lại đúng.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Xem xét trực tiếp trên chính nó, mệnh đề này tạo nên một nghịch lý nan giải.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Vậy nếu nó đúng thì sao? Nếu nó sai thì sao?

This question might seem like a silly thought experiment.

Câu hỏi này giống một thí nghiệm vớ vẩn trong tưởng tượng.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Nhưng vào đầu thế kỉ 20, nó lại khiến nhà logic học người áo Kurt Gödel

to a discovery that would change mathematics forever.

đi đến một khám phá làm thay đổi toán học mãi mãi.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

Khám phá của Gödel liên quan đến những hạn chế của chứng minh toán học.

A proof is a logical argument that demonstrates

Một “chứng minh” là một lập luận logic chứng tỏ

why a statement about numbers is true.

tại sao một mệnh đề về các con số là đúng.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Nền tảng của những lí lẽ này được gọi là tiên đề—

undeniable statements about the numbers involved.

mệnh đề không thể phủ nhận về những con số liên quan.

Every system built on mathematics,

Mọi hệ thống xây dựng dựa trên toán học,

from the most complex proof to basic arithmetic,

từ chứng minh phức tạp nhất đến số học cơ bản,

is constructed from axioms.

đều được xây dựng từ tiên đề.

And if a statement about numbers is true,

Và nếu một mệnh đề về các con số là đúng,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

toán học sẽ có thể chứng thực nó bằng một tiên đề.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Từ thời Hy Lạp cổ đại, các nhà toán học đã sử dụng hệ thống này

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

để chứng minh hoặc bác bỏ các tuyên bố toán học một cách chắc chắn.

But when Gödel entered the field,

Nhưng khi Gödel xuất hiện,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

những nghịch lý logic mới được khám phá đang đe dọa sự chắc chắn đó.

Prominent mathematicians were eager to prove

Các nhà toán học lỗi lạc đã rất háo hức để chứng minh

that mathematics had no contradictions.

rằng toán học không có mâu thuẫn.

Gödel himself wasn’t so sure.

Chính Gödel cũng không chắc chắn.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

Và ông thậm chí còn nghi ngờ liệu toán học có phải công cụ phù hợp

to investigate this problem.

để giải quyết vấn đề này.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Mặc dù dùng câu chữ để tạo ra nghịch lý mâu thuẫn chính mình không khó,

numbers don't typically talk about themselves.

nhưng các con số không dễ tự gây mâu thuẫn như vậy.

A mathematical statement is simply true or false.

Một mệnh đề toán học chỉ đơn giản là đúng hoặc sai.

But Gödel had an idea.

Nhưng Gödel có một ý tưởng.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Đầu tiên, anh ấy chuyển toán học thành câu lệnh và phương trình thành số

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

để một ý tưởng toán học phức tạp có thể được thể hiện bằng một con số duy nhất.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Điều này có nghĩa là các mệnh đề toán học được viết bằng những con số đó

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

cũng thể hiện vài điều về các câu lệnh được mã hóa của toán học.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

Bằng cách này, mã hóa cho phép toán học thể hiện bản thân nó.

Through this method, he was able to write:

Bằng phương pháp này, ta có thể viết:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“Mệnh đề này không thể được chứng minh” qua một phương trình,

creating the first self-referential mathematical statement.

tạo nên một mệnh đề toán học tự tham chiếu đầu tiên.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Tuy nhiên, khác với những mệnh đề mơ hồ đã truyền cảm hứng cho nó,

mathematical statements must be true or false.

mệnh đề toán học đều phải đúng hoặc sai.

So which is it?

Vậy là thế nào?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Nếu nó sai, nghĩa là tốn tại một chứng minh rằng mệnh đề đó sai.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Nhưng nếu một mệnh đề toán học có một chứng minh, nghĩa là nó đúng.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Sự mâu thuẫn này có nghĩa mệnh đề của Gödel không thể sai,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

và do đó “mệnh đề này không thể được chứng minh” là đúng.

Yet this result is even more surprising,

Nhưng kết quả lại bất ngờ hơn,

because it means we now have a true equation of mathematics

bởi vì nó có nghĩa chúng ta đang có một phương trình toán học đúng

that asserts it cannot be proved.

khẳng định rằng nó không thể được chứng minh.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Phát hiện này là trọng tâm của Định lý Bất toàn của Gödel,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

giới thiệu một tầng lớp hoàn toàn mới của mệnh đề toán học.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

Trong mô hình của Gödel, các mệnh đề vẫn đúng hoặc sai,

but true statements can either be provable or unprovable

nhưng những mệnh đề đúng có thể chứng minh được hoặc không thể chứng minh

within a given set of axioms.

trong một tập hợp các tiên đề cho trước.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Hơn nữa, Gödel lập luận những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh

exist in every axiomatic system.

tồn tại trong mọi hệ thống tiên đề.

This makes it impossible to create

Điều này khiến cho việc tạo một hệ thống hoàn chỉnh sử dụng toán học là không thể,

a perfectly complete system using mathematics,

because there will always be true statements we cannot prove.

bởi sẽ luôn có những mệnh đề đúng mà ta không thể chứng minh.

Even if you account for these unprovable statements

Ngay cả khi xem xét những mệnh đề không thể chứng minh

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

bằng cách coi chúng như các tiên đề mới dẫn đến một hệ thống toán học mở rộng,

that very process introduces new unprovably true statements.

quá trình đó tạo nên những mệnh đề mới, đúng nhưng không thể chứng minh.

No matter how many axioms you add,

Bất kể bao nhiêu tiên đề ta thêm vào,

there will always be unprovably true statements in your system.

sẽ luôn tồn tại những mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh trong hệ thống.

It’s Gödels all the way down!

Đó chính là sự xoay chuyển vô hạn của Gödel.

This revelation rocked the foundations of the field,

Phát hiện này đã làm rung chuyển nền tảng của lĩnh vực này,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

dập tắt giấc mơ rằng mỗi mệnh đề toán học

be proven or disproven.

đều có thể được chứng minh hoặc bác bỏ.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Dù hầu hết nhà toán học chấp nhận thực tế này, một số tranh luận sôi nổi về nó.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Số khác vẫn cố gắng phớt lờ lỗ hổng mới được phát hiện này

in the heart of their field.

liên quan đến lĩnh vực của họ.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Nhưng khi các bài toán kinh điển được chứng minh rằng không thể chứng minh được,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

một số người lo rằng công trình để đời của họ không thể được hoàn thành.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Nhưng, định lý Gödel lại mở ra những cánh cửa mới khi số khác khép lại.

Knowledge of unprovably true statements

Hiểu biết về mệnh đề đúng nhưng không thể chứng minh

inspired key innovations in early computers.

truyền cảm hứng cho các phát kiến cốt lõi của máy tính đời đầu.

And today, some mathematicians dedicate their careers

Ngày nay, vài nhà toán học dành cả sự nghiệp của họ

to identifying provably unprovable statements.

để tìm ra các mệnh đề chứng minh được rằng nó không thể chứng minh.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Tuy rằng các học giả có thể mất đi đôi chút tính chắc chắn,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

nhờ có Gödel, họ có thể chấp nhận điều chưa biết

at the heart of any quest for truth.

trong cuộc tìm kiếm sự thật.