The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

번역: Nahee Jeong 검토: Jihyeon J. Kim

Consider the following sentence: “This statement is false.”

다음 문장에 대해 생각 해 보세요. “이 진술은 거짓입니다.”

Is that true?

사실일까요?

If so, that would make this statement false.

만약 그렇다면 그 문장은 진술을 거짓으로 만들 것입니다.

But if it’s false, then the statement is true.

하지만 만약 문장이 거짓이라면 진술은 참입니다.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

직설적으로 말해서, 이 진술은 해결할 수 없는 역설을 만듭니다.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

만약, 참이나 거짓이 아니라면 무엇일까요?

This question might seem like a silly thought experiment.

터무니없는 사고실험같지만

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

20세기 초, 이것으로 오스트리아 논리학자인 쿠르트 괴델은

to a discovery that would change mathematics forever.

수학을 영원히 바꿀 발견을 하게 됩니다.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

괴델의 발견은 수학적 증명의 한계와 관련이 있습니다.

A proof is a logical argument that demonstrates

증명은 이론적인 논쟁입니다.

why a statement about numbers is true.

왜 숫자와 관련된 진술이 참인지 증명합니다.

The building blocks of these arguments are called axioms—

이러한 논쟁의 블록을 쌓는 것을 공리라고 하는데

undeniable statements about the numbers involved.

관련된 숫자에 대한 부정할 수 없는 진술이죠.

Every system built on mathematics,

수학에 기반하여 구축된 모든 체계는

from the most complex proof to basic arithmetic,

가장 복잡한 증명부터 기본적인 계산까지

is constructed from axioms.

공리에서부터 시작되어 구성됐습니다.

And if a statement about numbers is true,

만약 숫자에 대한 진술들이 참이라면

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

수학자들은 공리 증명으로 공식화 할 수 있습니다.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

고대 그리스 때부터 수학자들이 이 체계에 완전한 확신을 가지고

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

수학적 주장의 옳고 그름을 증명하기 위해 사용했습니다.

But when Gödel entered the field,

하지만 괴델이 수학계에 진입했을 때

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

몇몇 새롭게 드러난 논리적 역설들이 그 확실성을 위협하고 있었습니다.

유명한 수학자들은

Prominent mathematicians were eager to prove

수학에는 모순이 없다는 것을 증명하길 열망했습니다.

that mathematics had no contradictions.

Gödel himself wasn’t so sure.

괴델 스스로는 확신이 없었습니다.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

수학이 이 문제를 연구하기 위한 좋은 방법인지

to investigate this problem.

확신조차 서지 않았습니다.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

말로는 비교적 쉽게 자기 지시적인 역설을 만들기 쉬운 반면

numbers don't typically talk about themselves.

숫자는 보통 숫자 자체에 대해 언급하지 않습니다.

A mathematical statement is simply true or false.

수학적 진술은 단순히 참 혹은 거짓입니다.

하지만 괴델은 한가지 생각을 합니다.

But Gödel had an idea.

우선, 그는 수학적 진술과 방정식을 코드 번호로 치환했습니다.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

복잡한 수학적 견해가 단 하나의 숫자로 표현될 수 있도록 말이죠.

This meant that mathematical statements written with those numbers

이는 그러한 숫자들로 적힌 수학적 진술들이

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

암호화된 수학적 진술들 또한 표현하고 있음을 의미합니다.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

이 방법으로, 암호화는 수학이 자기 지시를 할 수 있도록 합니다.

Through this method, he was able to write:

이 방법을 통해, 그는 다음과 같이 적을 수 있었습니다:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“이 진술은 방정식으로서 증명될 수 없다.”

creating the first self-referential mathematical statement.

그리고 이는 최초의 자기 지시적인 수학적 진술입니다.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

하지만 그에게 영감을 준 애매한 문장과 달리

mathematical statements must be true or false.

수학적 진술들은 참 혹은 거짓이어야 했습니다.

So which is it?

그러면 어느 쪽일까요?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

만약 거짓이라면, 진술의 증명 가능을 의미합니다.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

하지만 수학적 진술 증명이 가능하다면, 진술은 참이어야 합니다.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

이 모순은 괴델의 진술이 거짓이 될 수 없으므로

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

“이 진술은 증명이 될 수 없음“은 반드시 참이어야 함을 의미합니다.

Yet this result is even more surprising,

그렇지만 실로 놀라운 결과라 할 수 있습니다.

because it means we now have a true equation of mathematics

왜냐하면 이제 참인 수학 방정식이 있고

that asserts it cannot be proved.

이 방정식은 증명될 수 없음을 확언하고 있다는 뜻이기 때문이죠.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

이 발견은 괴델의 불완전성 정리의 핵심입니다.

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

그리고 수학적 진술에 완전히 새로운 수준을 도입합니다.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

괴델의 패러다임에서 진술은 여전히 참 혹은 거짓입니다.

but true statements can either be provable or unprovable

하지만 참인 진술은 증명이 가능할 수도 불가능할 수도 있습니다

within a given set of axioms.

주어진 공리의 집합 내에서 말이죠.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

더욱이 괴델은 이 증명 불가능한 참인 진술은

exist in every axiomatic system.

모든 공리체제에 존재한다고 주장했습니다.

This makes it impossible to create

이는 수학을 사용하는 아주 완벽한 체제 생성을

a perfectly complete system using mathematics,

불가능하게 만듭니다.

because there will always be true statements we cannot prove.

우리가 증명하지 못하는 참인 진술이 늘 있기 때문이죠.

Even if you account for these unprovable statements

증명 불가능한 진술들을 새로운 공리로서

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

확장된 수학 체계에 추가함으로써 설명한다고 한들

that very process introduces new unprovably true statements.

바로 그 과정이 새로운 증명 불가능한 참인 진술을

도입하게 됩니다.

No matter how many axioms you add,

아무리 많은 공리를 추가한다 한들

there will always be unprovably true statements in your system.

여러분의 체계에는 항상 증명 불가능한 참인 진술이 있게 됩니다.

It’s Gödels all the way down!

괴델의 이론에서 벗어날 수 없죠

This revelation rocked the foundations of the field,

이 발견은 수학영역의 뿌리까지 뒤흔들었고

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

언젠가 모든 수학적 주장의 증명 여부를 보게 될거라 꿈꾸던 사람들을

be proven or disproven.

좌절하게 했습니다.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

수학자 대부분이 이 새로운 현실을 수용하는 반면에

몇몇은 강렬히 논박했습니다

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

나머지는 그들의 영역 중심에 새롭게 드러난 헛점을

in the heart of their field.

여전히 무시하려고 했었습니다.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

하지만 더 많은 고전적 문제가 증명될 수 없는 참이라 증명될수록

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

몇몇은 그들의 평생 직업의 완성이 불가능할 거라 걱정하기 시작했습니다.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

그럼에도 괴델의 정리는 좌절 된 꿈의 수 만큼

다른 가능성을 열었습니다.

Knowledge of unprovably true statements

증명 불가능한 참인 진술에 대한 지식은

inspired key innovations in early computers.

초기 컴퓨터에서 핵심적인 혁신의 영감을 불러 일으켰습니다.

And today, some mathematicians dedicate their careers

오늘날 몇몇의 수학자들은 그들의 경력을

to identifying provably unprovable statements.

증명 불가능한 진술들을 규명하는데에 바치고 있습니다.

So while mathematicians may have lost some certainty,

수학자들이 확실성을 잃었을 지 모르지만

thanks to Gödel they can embrace the unknown

괴델 덕분에

어느 질문의 핵심에 있는 미지의 진술을 참을 위해 포용할 수 있게 되었습니다.

at the heart of any quest for truth.