The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Traductor: Dania Méndez Revisor: Sebastian Betti

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Considera la siguiente oración: “Este enunciado es falso”.

Is that true?

¿Eso es cierto?

If so, that would make this statement false.

Si es así, la declaración sería falsa.

But if it’s false, then the statement is true.

Pero si es falsa, la declaración es verdadera.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Al referirse a sí misma directamente, se crea una paradoja irresoluble.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Pero si no es verdadera ni falsa, ¿qué es?

This question might seem like a silly thought experiment.

Esta pregunta puede parecer un experimento mental un poco tonto.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Pero a inicios del siglo XX, llevó al lógico austriaco Kurt Gödel

to a discovery that would change mathematics forever.

a descubrir algo que cambiaría las matemáticas para siempre.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

El descubrimiento exploraba las limitaciones de las pruebas matemáticas.

A proof is a logical argument that demonstrates

Una prueba es un argumento lógico cuyo fin es demostrar

why a statement about numbers is true.

por qué una afirmación numérica es verdadera.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Los bloques que forman estos argumentos se conocen como axiomas,

undeniable statements about the numbers involved.

proposiciones innegables sobre los números involucrados.

Every system built on mathematics,

Todos los sistemas basados en matemáticas,

from the most complex proof to basic arithmetic,

desde la comprobación más compleja hasta aritmética básica,

is constructed from axioms.

se construyen a partir de axiomas.

And if a statement about numbers is true,

Y si una declaración sobre ciertos números es verdadera,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

los matemáticos pueden confirmarla con una prueba axiomática.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Desde la antigua Grecia, los matemáticos usaron este sistema

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

para probar o refutar afirmaciones matemáticas con certeza.

But when Gödel entered the field,

Pero cuando Gödel entró al campo,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

algunas nuevas paradojas lógicas estaban amenazando esa certeza.

Prominent mathematicians were eager to prove

Los grandes matemáticos estaban ansiosos por probar

that mathematics had no contradictions.

que las matemáticas no tenían contradicciones.

Gödel himself wasn’t so sure.

Gödel no estaba tan seguro.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

Estaba menos seguro de que las matemáticas fueran la herramienta adecuada

to investigate this problem.

para investigar este problema.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Aunque es relativamente fácil crear una paradoja autorreferencial con palabras

numbers don't typically talk about themselves.

los números no suelen hablar de ellos mismos.

A mathematical statement is simply true or false.

Una declaración matemática simplemente puede ser verdadera o falsa.

But Gödel had an idea.

Pero Gödel tuvo una idea.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Primero tradujo declaraciones matemáticas y ecuaciones a números en un código,

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

para que una idea matemática compleja pudiera expresarse con solo un número.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Esto significó que los enunciados escritos con esos números,

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

también expresaban algo sobre los enunciados codificados.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

Así, las codificaciones ayudarían a las matemáticas a hablar de sí mismas.

Through this method, he was able to write:

A través de este método, pudo escribir:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“Esta declaración no se puede probar” como una ecuación,

creating the first self-referential mathematical statement.

creando así, la primera declaración matemática autorreferencial.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Sin embargo, a diferencia de la oración ambigua que lo inspiró,

mathematical statements must be true or false.

los enunciados matemáticos deben ser verdaderos o falsos.

So which is it?

Entonces, ¿qué es?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Si es falso, eso significa que la declaración tiene una prueba.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Pero si un enunciado matemático tiene una prueba, entonces debe ser verdadero.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Esta contradicción significa que la declaración de Gödel no puede ser falsa

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

y, por tanto, debe ser cierto que “Esta declaración no puede ser probada”.

Yet this result is even more surprising,

Sin embargo, este resultado es aún más sorprendente,

because it means we now have a true equation of mathematics

porque significa que ahora tenemos una verdadera ecuación matemática

that asserts it cannot be proved.

que afirma que no se puede probar.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Esta revelación está en el corazón del teorema de incompletitud de Gödel,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

que introduce una clase totalmente nueva de enunciados matemáticos.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

En el paradigma de Gödel, los enunciados siguen siendo verdaderos o falsos,

but true statements can either be provable or unprovable

pero los enunciados verdaderos pueden ser demostrables o indemostrables

within a given set of axioms.

dentro de un conjunto dado de axiomas.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Además, Gödel argumentaba que estas declaraciones verdaderas indemostrables

exist in every axiomatic system.

existen en todos los sistemas axiomáticos.

This makes it impossible to create

Esto vuelve imposible el crear

a perfectly complete system using mathematics,

un sistema perfectamente completo usando matemáticas,

because there will always be true statements we cannot prove.

porque siempre habrá enunciados verdaderos que no podemos probar.

Even if you account for these unprovable statements

Aunque tengas en cuenta estas declaraciones indemostrables

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

al agregarlas como nuevos axiomas a un sistema matemático ampliado,

that very process introduces new unprovably true statements.

ese mismo proceso introduce nuevas afirmaciones verdaderas indemostrables.

No matter how many axioms you add,

Sin importar cuántos axiomas agregues,

there will always be unprovably true statements in your system.

siempre habrá declaraciones verdaderas que no se pueden probar en el sistema.

It’s Gödels all the way down!

¡Siempre será Gödel hasta el final!

This revelation rocked the foundations of the field,

Este descubrimiento sacudió los cimientos de las matemáticas,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

destruyendo a los que soñaban que todas las afirmaciones matemáticas

be proven or disproven.

algún día serían probadas o refutadas.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Aunque muchos aceptaron la nueva realidad, otros matemáticos la refutaron con fervor.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Y otros intentaron ignorar el recién descubierto hoyo

in the heart of their field.

en el corazón de su campo de estudio.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Pero cuando se probaron problemas clásicos como indemostrablemente ciertos,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

algunos comenzaron a preocuparse ya que sus trabajos nunca se podrían completar.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Aún así, el teorema de Gödel abrió tantas puertas como las que cerró.

Knowledge of unprovably true statements

El saber de la indecidibilidad en declaraciones verdaderas

inspired key innovations in early computers.

inspiró algunas innovaciones clave en las primeras computadoras.

And today, some mathematicians dedicate their careers

Y hasta el día de hoy, algunos matemáticos dedican sus carreras

to identifying provably unprovable statements.

a identificar enunciados de carácter indemostrable y demostrable.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Entonces, aunque los matemáticos perdieron algo de certeza,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

gracias a Gödel, pueden aceptar la incertidumbre

at the heart of any quest for truth.

que se encuentra en cualquier búsqueda de la verdad.