The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Translator: Pedram Pourasgari Reviewer: Mahshid Moballegh Nasery

Consider the following sentence: “This statement is false.”

جمله‌ی زیر را در نظر بگیرید: «این گزاره غلط است.»

Is that true?

آیا این جمله درست است؟

If so, that would make this statement false.

اگر اینطور باشد، یعنی گزاره غلط است.

But if it’s false, then the statement is true.

اما اگر غلط باشد، پس گزاره درست است.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

چون گزاره مستقیماً به خودش اشاره می‌کند، یک پارادوکس حل‌نشدنی ایجاد می‌کند.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

خب اگر درست نیست و غلط هم نیست — پس چیست؟

This question might seem like a silly thought experiment.

این سؤال شاید مثل یک آزمایش فکری احمقانه به نظر برسد.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

اما در اوایل قرن ۲۰ موجب شد منطق‌دان اتریشی کورت گودل

to a discovery that would change mathematics forever.

چیزی را کشف کند که ریاضیات را برای همیشه تغییر داد.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

کشف گودل به محدودیت‌های اثبات ریاضی مربوط بود.

A proof is a logical argument that demonstrates

اثبات، یک استدلال منطقی است که نشان می‌دهد

why a statement about numbers is true.

چرا یک گزاره در مورد اعداد درست است.

The building blocks of these arguments are called axioms—

اجزای سازنده‌ی این استدلال‌ها، اصول نام دارند—

undeniable statements about the numbers involved.

گزاره‌های انکارناپذیر در مورد اعداد موردنظر.

Every system built on mathematics,

هر دستگاهی که بر پایه‌ی ریاضیات ساخته شده،

from the most complex proof to basic arithmetic,

از پیچیده‌ترین اثبات تا حساب مقدماتی،

is constructed from axioms.

از اصول تشکیل شده است.

And if a statement about numbers is true,

و اگر گزاره‌ای در مورد اعداد درست باشد،

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

ریاضی‌دانان باید قادر باشند آن را با یک اثبات اصولی تأیید کنند.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

از زمان یونان باستان، ریاضی‌دانان از این دستگاه استفاده کردند

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

تا ادعاهای ریاضی را با قطعیت کامل اثبات یا رد کنند.

But when Gödel entered the field,

اما وقتی گودل وارد میدان شد،

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

چند پارادوکس منطقی تازه کشف شده، آن قطعیت را زیر سؤال می‌بردند.

Prominent mathematicians were eager to prove

ریاضی‌دانان برجسته اشتیاق داشند که ثابت کنند

that mathematics had no contradictions.

ریاضیات هیچ تناقضی ندارد.

Gödel himself wasn’t so sure.

خودِ گودل آنقدر مطمئن نبود.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

و حتی اطمینان کمتری داشت که ریاضیات ابزار درستی

to investigate this problem.

برای بررسی این مسأله باشد.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

در حالی که ایجاد یک پارادوکسِ خود ارجاع با کلمات نسبتاً ساده است،

numbers don't typically talk about themselves.

اعداد معمولاً در مورد خودشان صحبت نمی‌کنند.

A mathematical statement is simply true or false.

یک گزاره‌ی ریاضی به سادگی درست یا غلط است.

But Gödel had an idea.

اما گودل ایده‌ای داشت.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

اول، او گزاره‌های ریاضی و معادلات را به کدهای عددی تبدیل کرد

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

تا یک ایده پیچیده ریاضی را بتوان به سادگی با یک عدد بیان کرد.

This meant that mathematical statements written with those numbers

این بدان معنا بود که گزاره‌های ریاضی نوشته‌شده با آن اعداد

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

چیزی هم در مورد گزاره‌های کدگذاری شده ریاضیات بیان می‌کردند.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

به این ترتیب، کدگذاری به ریاضیات امکانِ صحبت کردند در مورد خودش را می‌داد.

Through this method, he was able to write:

با این روش، او توانست بنویسد:

“This statement cannot be proved” as an equation,

«این عبارت نمی‌تواند اثبات شود» به صورت یک معادله،

creating the first self-referential mathematical statement.

که نخستین گزاره ریاضیِ خود ارجاع را درست کرد.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

البته، بر خلاف جمله‌ی مبهمی که الهام‌بخش او بود،

mathematical statements must be true or false.

گزاره‌های ریاضی باید درست یا غلط باشند.

So which is it?

پس کدام یک از آن‌ها بود؟

If it’s false, that means the statement does have a proof.

اگر غلط باشد، یعنی برای آن گزاره یک اثبات وجود دارد.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

اما اگر یک گزاره‌ی ریاضی اثبات داشته باشد، پس باید درست باشد.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

این تناقض به این معنی بود که گزاره‌ی گودل نمی‌توانست غلط باشد،

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

و بنابراین باید درست باشد که «این گزاره نمی‌تواند اثبات شود».

Yet this result is even more surprising,

با این حال، نتیجه‌اش شگفت‌آورتر است،

because it means we now have a true equation of mathematics

چون به این معناست که حالا یک معادله‌ی ریاضی صحیح داریم

that asserts it cannot be proved.

که ادعا می‌کند نمی‌تواند اثبات شود.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

این کشف، اساس قضیه ناتمامیت گودل است،

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

که گونه‌ی کاملاً جدیدی از گزاره‌های ریاضی را معرفی می‌کند.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

در پارادایم گودل، گزاره‌ها همچنان می‌توانند درست یا غلط باشند،

but true statements can either be provable or unprovable

اما گزاره‌های درست می‌توانند اثبات‌پذیر یا اثبات‌ناپذیر باشند

within a given set of axioms.

در چارچوب یک مجموعه مشخص از اصول.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

همچنین، گودل استدلال می‌کند که این گزاره‌های درست اثبات‌نشدنی

exist in every axiomatic system.

در هر دستگاه اصولی وجود دارند.

This makes it impossible to create

این باعث می‌شود ایجاد کردن

a perfectly complete system using mathematics,

یک دستگاه کامل با استفاده از ریاضیات غیرممکن باشد،

because there will always be true statements we cannot prove.

چون همواره گزاره‌های درستی وجود خواهند داشت که نمی‌توانیم اثباتشان کنیم.

Even if you account for these unprovable statements

حتی اگر این گزاره‌های اثبات‌ناپذیر را حساب کنید

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

با اضافه کردن آن‌ها به عنوان اصول جدید به یک دستگاه ریاضی گسترش‌یافته،

that very process introduces new unprovably true statements.

آن فرآیند خودش گزاره‌های درست اثبات‌ناپذیر جدید ایجاد می‌کند.

No matter how many axioms you add,

مهم نیست چند اصل اضافه کنید،

there will always be unprovably true statements in your system.

همواره گزاره‌های درست اثبات‌ناپذیر در دستگاه‌تان وجود دارد.

It’s Gödels all the way down!

همیشه در نهایت به گودل‌ها می‌رسید!

This revelation rocked the foundations of the field,

این کشف، بنیان‌های این حوزه را لرزاند،

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

و افرادی که فکر می‌کردند تمام ادعاهای ریاضی روزی اثبات یا رد می‌شود را

be proven or disproven.

در هم شکست.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

در حالی که بیشتر ریاضی‌دانان این واقعیت جدید را پذیرفتند، برخی مخالف جدی آن بودند.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

دیگران هنوز تلاش می‌کردند این شکاف تازه کشف شده

in the heart of their field.

در قلب رشته خود را نادیده بگیرند.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

اما از آنجایی که مسائل کلاسیک بیشتری ثابت شده بودند تا درست اثبات‌ناپذیر باشند،

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

بعضی‌ها نگران شدند که کارهای طول عمرشان هیچ وقت کامل نشوند.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

با این حال، قضایای گودل همانقدر که درهایی را بست، درهایی را باز کرد.

Knowledge of unprovably true statements

دانش گزاره‌های درست اثبات‌ناپذیر

inspired key innovations in early computers.

الهام‌بخش نوآوری‌های کلیدی در کامپیوترهای اولیه بود.

And today, some mathematicians dedicate their careers

و امروزه، برخی از ریاضی‌دانان شغلشان را وقفِ

to identifying provably unprovable statements.

شناسایی گزاره‌های اثبات‌ناپذیر قابل اثبات کرده‌اند.

So while mathematicians may have lost some certainty,

پس در حالی که شاید ریاضی‌دانان کمی از قطعیت را از دست داده باشند،

thanks to Gödel they can embrace the unknown

به لطف گودل، آن‌ها می‌توانند ناشناخته‌ها را

at the heart of any quest for truth.

در قلبِ هر جستجویی برای حقیقت، بپذیرند.