The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Tradutor: JULIANA CARLESSI Revisor: Elena Crescia

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Considere a seguinte frase: ”Esta afirmação é falsa.”

Is that true?

É verdade?

If so, that would make this statement false.

Se sim, isso tornaria esta afirmação falsa.

But if it’s false, then the statement is true.

Mas se falsa, então a afirmação é verdadeira.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Referindo-se diretamente, essa afirmação cria um paradoxo insolúvel.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Então se não é verdadeira e não é falsa— o que é?

This question might seem like a silly thought experiment.

Essa questão pode parecer um exercício intelectual bobo.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Mas em meados do século 20, levou o lógico austríaco Kurt Gödel

to a discovery that would change mathematics forever.

à uma descoberta que mudaria a matemática para sempre.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

A descoberta de Gödel teve a ver com as limitações das provas matemáticas.

A proof is a logical argument that demonstrates

A prova é um argumento lógico que demonstra

why a statement about numbers is true.

por que uma afirmação númerica é verdadeira.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Os blocos de construção desses argumentos são chamados de axiomas—

undeniable statements about the numbers involved.

declarações inegáveis sobre os números envolvidos.

Every system built on mathematics,

Cada sistema desenvolvido na matemática,

from the most complex proof to basic arithmetic,

da prova mais complexa à aritmética básica,

is constructed from axioms.

é construído a partir de axiomas.

And if a statement about numbers is true,

E se uma afirmação sobre números for verdadeira,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

matemáticos devem ser capazes de confirmar com uma prova axiomática.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Desde a Grécia antiga, matemáticos usavam esse sistema

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

para provar ou refutar afirmações matemáticas com total certeza.

But when Gödel entered the field,

Mas quando Gödel entrou na área,

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

alguns paradoxos lógicos recém-descobertos estavam ameaçando essa certeza.

Prominent mathematicians were eager to prove

Matemáticos proeminentes estavam ansiosos para provar

that mathematics had no contradictions.

que a matemática não tinha contradições.

Gödel himself wasn’t so sure.

O próprio Gödel não tinha tanta certeza.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

E ele estava ainda menos confiante de que a matemática era a ferramenta certa

to investigate this problem.

para investigar este problema.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Embora seja relativamente fácil de criar um paradoxo autorreferencial com palavras,

numbers don't typically talk about themselves.

números normalmente não falam por si mesmos.

A mathematical statement is simply true or false.

Uma declaração matemática é simplesmente verdadeira ou falsa.

But Gödel had an idea.

Mas Gödel teve uma idéia.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Ele traduziu declarações matemáticas e equações em códigos numéricos

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

para que uma ideia matemática complexa pudesse ser expressa em um único número.

This meant that mathematical statements written with those numbers

Isso significou que as declarações matemáticas escritas com esses números

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

também estavam expressando algo sobre as declarações codificadas da matemática.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

Deste modo, a codificação permitia a matemática falar por si própria.

Through this method, he was able to write:

Através deste método, ele foi capaz de escrever:

“This statement cannot be proved” as an equation,

“Esta afirmação não pode ser provada” como uma equação,

creating the first self-referential mathematical statement.

criando a primeira declaração autorreferencial matemática.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

No entanto, contrária à frase ambígua que o inspirou,

mathematical statements must be true or false.

declarações matemáticas devem ser verdadeiras ou falsas.

So which is it?

Então, o que é?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Se falsa, significa que a afirmação tem uma prova.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Mas se uma afirmação matemática tem uma prova, então deve ser verdadeira.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Esta contradição significa que a declaração de Gödel não pode ser falsa,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

e, portanto, deve ser verdade que “Esta afirmação não pode ser provada.”

Yet this result is even more surprising,

No entanto, este resultado é ainda mais surpreendente,

because it means we now have a true equation of mathematics

porque significa que agora temos uma verdadeira equação matemática

that asserts it cannot be proved.

que afirma que não pode ser provada.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Esta revelação está dentro do Teorema da Incompletude de Gödel,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

que apresenta uma classe inteiramente nova de declaração matemática.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

No paradigma de Gödel, as declarações ainda são verdadeiras ou falsas,

but true statements can either be provable or unprovable

mas as afirmações verdadeiras podem ser prováveis ou improváveis

within a given set of axioms.

dentro de um determinado conjunto de axiomas.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Além disso, Gödel argumenta que estas afirmações verdadeiras não prováveis

exist in every axiomatic system.

existem em todos os sistemas axiomáticos.

This makes it impossible to create

Isso torna impossível criar

a perfectly complete system using mathematics,

um sistema perfeitamente completo usando matemática,

because there will always be true statements we cannot prove.

porque sempre haverá declarações verdadeiras que não podemos provar.

Even if you account for these unprovable statements

Mesmo levando em consideração afirmações improváveis

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

adicionando-os como novos axiomas para um sistema matemático ampliado,

that very process introduces new unprovably true statements.

esse mesmo processo introduz novas afirmações comprovadamente verdadeiras.

No matter how many axioms you add,

Não importa quantos axiomas você adicione,

there will always be unprovably true statements in your system.

sempre haverá declarações comprovadamente verdadeiras em seu sistema.

It’s Gödels all the way down!

É Gödel do começo ao o fim!

This revelation rocked the foundations of the field,

Esta revelação abalou os alicerces da área,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

esmagando aqueles que sonharam que cada afirmação matemática um dia

be proven or disproven.

seria provada ou refutada.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

A maioria dos matemáticos aceitou essa nova realidade, uns debateram com fervor.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Outros ainda tentaram ignorar o buraco recém-descoberto

in the heart of their field.

no cerne de seu campo de atuação.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Mas, quanto mais problemas clássicos eram provados a ser verdadeiros sem provas

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

alguns começaram a se preocupar com o trabalho que seria impossível completar.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

Ainda assim, o teorema de Gödel abriu tantas portas quanto fechou.

Knowledge of unprovably true statements

O conhecimento de afirmações comprovadamente verdadeiras

inspired key innovations in early computers.

inspirou as principais inovações nos primeiros computadores.

And today, some mathematicians dedicate their careers

E hoje, alguns matemáticos dedicam suas carreiras

to identifying provably unprovable statements.

para identificar comprovadamente afirmações improváveis.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Então, embora os matemáticos possam ter perdido algumas certezas,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

graças a Gödel eles podem abraçar o desconhecido

at the heart of any quest for truth.

no cerne de qualquer busca pela verdade.