The paradox at the heart of mathematics: Gödel's Incompleteness Theorem - Marcus du Sautoy

Переводчик: Anton Zamaraev Редактор: Rostislav Golod

Consider the following sentence: “This statement is false.”

Рассмотрим следующее предложение: «Это утверждение является ложным».

Is that true?

Является ли оно истинным?

If so, that would make this statement false.

Если да, то это утверждение будет ложным.

But if it’s false, then the statement is true.

Но если оно ложно, то утверждение истинно.

By referring to itself directly, this statement creates an unresolvable paradox.

Утверждение ссылается на само себя и в создаёт неразрешимый парадокс.

So if it’s not true and it’s not false— what is it?

Но если оно не истинно и не ложно, то каково же оно?

Этот вопрос может показаться глупым умозрительным экспериментом.

This question might seem like a silly thought experiment.

But in the early 20th century, it led Austrian logician Kurt Gödel

Но в начале XX века он привёл австрийского логика Курта Гёделя

to a discovery that would change mathematics forever.

к открытию, навсегда изменившему математику.

Gödel’s discovery had to do with the limitations of mathematical proofs.

Открытие Гёделя относилось к ограничениям математических доказательств.

A proof is a logical argument that demonstrates

Доказательством называется логический аргумент,

why a statement about numbers is true.

демонстрирующий, почему утверждение о числах является истинным.

The building blocks of these arguments are called axioms—

Составные элементы этих аргументов называются аксиомами —

undeniable statements about the numbers involved.

неопровержимые утверждения о числах.

Every system built on mathematics,

Каждая построенная на математике система

from the most complex proof to basic arithmetic,

от сложнейшего доказательства до простейшей арифметики,

is constructed from axioms.

зиждется на аксиомах.

And if a statement about numbers is true,

И если утверждение о числах истинно,

mathematicians should be able to confirm it with an axiomatic proof.

математики должны подтвердить его при помощи аксиоматических доказательств.

Since ancient Greece, mathematicians used this system

Со времён Древней Греции математики использовали эту систему,

to prove or disprove mathematical claims with total certainty.

чтобы с абсолютной уверенностью доказать или опровергнуть математические заявления.

But when Gödel entered the field,

Но ко времени появления Гёделя в научном мире

some newly uncovered logical paradoxes were threatening that certainty.

этой определённости стали угрожать новые обнаруженные логические парадоксы.

Prominent mathematicians were eager to prove

Выдающиеся математики жаждали доказать,

that mathematics had no contradictions.

что их наука не содержит в себе противоречий.

Gödel himself wasn’t so sure.

Но у Гёделя не было в этом твёрдой уверенности.

And he was even less confident that mathematics was the right tool

И ещё больше сомнений вызывало у него то, что математика является

подходящим инструментом для изучения этого вопроса.

to investigate this problem.

While it’s relatively easy to create a self-referential paradox with words,

Хотя можно сравнительно легко придумать самореферентный парадокс со словами,

numbers don't typically talk about themselves.

такое сложно проделать с числами.

A mathematical statement is simply true or false.

Математическое утверждение либо истинно, либо ложно.

But Gödel had an idea.

Но Гёделю пришла в голову одна идея.

First, he translated mathematical statements and equations into code numbers

Сначала он закодировал математические утверждения и уравнения в виде чисел.

so that a complex mathematical idea could be expressed in a single number.

Таким образом сложная математическая идея могла быть выражена одним числом.

This meant that mathematical statements written with those numbers

То есть математические утверждения, записанные при помощи этих чисел,

were also expressing something about the encoded statements of mathematics.

вдобавок выражали нечто о закодированных утверждениях математики.

In this way, the coding allowed mathematics to talk about itself.

Таким образом, благодаря кодированию, математика могла ссылаться на саму себя.

Through this method, he was able to write:

Используя этот метод, Гёдель смог написать уравнение:

“This statement cannot be proved” as an equation,

«Это утверждение нельзя доказать»,

creating the first self-referential mathematical statement.

создав тем самым первое самореферентное математическое утверждение.

However, unlike the ambiguous sentence that inspired him,

Но, в отличие от вдохновившего его двусмысленного предложения,

mathematical statements must be true or false.

математические утверждения должны быть либо истинны, либо ложны.

So which is it?

Так каким же является то утверждение?

If it’s false, that means the statement does have a proof.

Если оно ложно, у утверждения есть доказательство.

But if a mathematical statement has a proof, then it must be true.

Но если у математического утверждения есть доказательство, оно должно быть истинно.

This contradiction means that Gödel’s statement can’t be false,

Отсюда следует, что утверждение Гёделя не может быть ложным,

and therefore it must be true that “this statement cannot be proved.”

и должно быть истинным утверждение «Это утверждение нельзя доказать».

Yet this result is even more surprising,

Однако полученный результат оказался ещё удивительнее.

because it means we now have a true equation of mathematics

Ведь это означает, что у нас есть настоящее математическое уравнение,

that asserts it cannot be proved.

утверждающее, что его невозможно доказать.

This revelation is at the heart of Gödel’s Incompleteness Theorem,

Это открытие стало основой теоремы Гёделя о неполноте,

which introduces an entirely new class of mathematical statement.

где вводится принципиально новый класс математических утверждений.

In Gödel’s paradigm, statements still are either true or false,

В парадигме Гёделя утверждения по-прежнему либо истинны, либо ложны,

but true statements can either be provable or unprovable

но истинные утверждения могут быть либо доказуемы, либо недоказуемы

within a given set of axioms.

при наличии заданного набора аксиом.

Furthermore, Gödel argues these unprovable true statements

Более того Гёдель утверждает, что эти недоказуемые истинные утверждения

exist in every axiomatic system.

существуют в любой системе аксиом.

This makes it impossible to create

Поэтому невозможно создать

a perfectly complete system using mathematics,

идеально полную систему с использованием математики,

because there will always be true statements we cannot prove.

потому что всегда найдутся истинные утверждения, которые невозможно доказать.

Even if you account for these unprovable statements

Даже если учесть недоказуемые утверждения,

by adding them as new axioms to an enlarged mathematical system,

добавив их в качестве аксиом в расширенную математическую систему,

that very process introduces new unprovably true statements.

этот процесс создаст новые недоказуемые истинные утверждения.

No matter how many axioms you add,

Сколько аксиом не добавляйте,

there will always be unprovably true statements in your system.

в любой системе всегда найдутся недоказуемые истинные утверждения.

It’s Gödels all the way down!

От теоремы Гёделя никуда не денешься!

This revelation rocked the foundations of the field,

Это открытие пошатнуло фундамент науки,

crushing those who dreamed that every mathematical claim would one day

сокрушив мечты о наступлении дня, когда каждое математическое утверждение

be proven or disproven.

будет либо доказано, либо опровергнуто.

While most mathematicians accepted this new reality, some fervently debated it.

Большинство математиков приняли новую реальность, но были и отчаянные оппоненты.

Others still tried to ignore the newly uncovered a hole

Другие всё равно пытались игнорировать

in the heart of their field.

обнаруженную брешь в основании их науки.

But as more classical problems were proven to be unprovably true,

Но число классических проблем, отнесённых к недоказуемым истинам, росло,

some began to worry their life's work would be impossible to complete.

и математики стали беспокоиться, что труд их жизни будет невозможно закончить.

Still, Gödel’s theorem opened as many doors as a closed.

И всё же теорема Гёделя открыла столько же дверей, сколько закрыла.

Knowledge of unprovably true statements

Знание недоказуемых истинных утверждений

inspired key innovations in early computers.

послужило источником вдохновения на заре разработки первых компьютеров.

And today, some mathematicians dedicate their careers

В наши дни некоторые математики направляют все свои усилия

to identifying provably unprovable statements.

на поиски доказательств недоказуемых утверждений.

So while mathematicians may have lost some certainty,

Пусть математики и лишись некоторой определённости,

thanks to Gödel they can embrace the unknown

но благодаря Гёделю они могут принять неизведанное

at the heart of any quest for truth.

в основании любого поиска истины.