How many ways can you arrange a deck of cards? - Yannay Khaikin

De combien de façon peut-on arranger un jeu de cartes ? - Yannay Khaikin

Traducteur: Elisabeth Buffard Relecteur: Ariana Bleau Lugo

Pick a card, any card.

Choisissez une carte, n'importe quelle carte.

Actually, just pick up all of them and take a look.

En fait, prenez-les toutes et jetez un coup d'oeil.

This standard 52-card deck has been used for centuries.

On utilise ce jeu classique de 52 cartes depuis des siècles.

Everyday, thousands just like it

Tous les jours, des milliers de jeux comme celui-ci

are shuffled in casinos all over the world,

sont battus dans les casinos du monde entier,

the order rearranged each time.

l'ordre est réarrangé à chaque fois.

And yet, every time you pick up a well-shuffled deck

Et pourtant, chaque fois que vous prenez un jeu bien mélangé

like this one,

comme celui-ci,

you are almost certainly holding

vous tenez certainement

an arrangement of cards

un arrangement des cartes

that has never before existed in all of history.

qui n'a jamais existé dans toute l'histoire.

How can this be?

Comment est-ce possible ?

The answer lies in how many different arrangements

La réponse se trouve dans le nombre d'arrangements différents possibles

of 52 cards, or any objects, are possible.

de 52 cartes, ou de n'importe quels objets.

Now, 52 may not seem like such a high number,

52 peut ne pas sembler un nombre si grand,

but let's start with an even smaller one.

mais commençons par encore plus petit.

Say we have four people trying to sit

Disons que nous avons 4 personnes qui tentent de s'asseoir

in four numbered chairs.

sur 4 chaises numérotées.

How many ways can they be seated?

De combien de façons peuvent-ils être assis ?

To start off, any of the four people can sit

Pour commencer, une des quatre personnes peut s'asseoir

in the first chair.

sur la première chaise.

One this choice is made,

Ce choix fait,

only three people remain standing.

seules trois personnes restent debout.

After the second person sits down,

Quand la seconde personne s'assied,

only two people are left as candidates

seules deux personnes restent comme candidates

for the third chair.

pour la troisième chaise.

And after the third person has sat down,

Une fois que la troisième personne s'est assise,

the last person standing has no choice

la dernière personne debout n'a d'autre choix

but to sit in the fourth chair.

que de s'asseoir sur la quatrième chaise.

If we manually write out all the possible arrangements,

Si nous écrivons à la main tous les arrangements possibles,

or permutations,

ou permutations,

it turns out that there are 24 ways

Il s'avère qu'il y a 24 façons

that four people can be seated into four chairs,

pour quatre personnes de prendre place sur quatre chaises,

but when dealing with larger numbers,

mais lorsqu'ils traitent avec un plus grand nombre,

this can take quite a while.

Ça peut prendre un certain temps.

So let's see if there's a quicker way.

Nous allons donc voir s'il y a un moyen plus rapide.

Going from the beginning again,

En reprenant du début,

you can see that each of the four initial choices

vous pouvez voir que chacun des quatre choix initial

for the first chair

pour la première chaire

leads to three more possible choices for the second chair,

conduit à trois choix possibles de plus pour la deuxième chaise,

and each of those choices

et chacun de ces choix

leads to two more for the third chair.

mène à deux autres pour la troisième chaise.

So instead of counting each final scenario individually,

Ainsi, au lieu de compter chaque scénario final individuellement,

we can multiply the number of choices for each chair:

on peut multiplier le nombre de choix pour chaque chaise :

four times three times two times one

4 x 2 x 3 x 1

to achieve the same result of 24.

pour obtenir le même résultat de 24.

An interesting pattern emerges.

Un modèle intéressant émerge.

We start with the number of objects we're arranging,

Nous commençons par le nombre d'objets que nous allons organiser,

four in this case,

quatre dans ce cas,

and multiply it by consecutively smaller integers

et on le multiplie des nombres entiers consécutivement plus petits

until we reach one.

jusqu'à ce qu'on arrive à un.

This is an exciting discovery.

C'est une découverte passionnante.

So exciting that mathematicians have chosen

Si enthousiasmante que les mathématiciens ont choisi

to symbolize this kind of calculation,

de symboliser ce genre de calcul,

known as a factorial,

connu comme une factorielle,

with an exclamation mark.

avec un point d'exclamation.

As a general rule, the factorial of any positive integer

En règle générale, la factorielle d'un entier positif

is calculated as the product

est calculée comme le produit

of that same integer

de ce même entier

and all smaller integers down to one.

et de tous les plus petits entiers jusqu'à un.

In our simple example,

Dans notre exemple simple,

the number of ways four people

le nombre de façons dont quatre personnes

can be arranged into chairs

peuvent être distribuées sur des chaires

is written as four factorial,

s'écrit en quatre factorielles,

which equals 24.

ce qui est égal à 24.

So let's go back to our deck.

Revenons donc à notre jeu de cartes.

Just as there were four factorial ways

Tout comme il y avait quatre façons factorielles

of arranging four people,

d'arranger quatre personnes,

there are 52 factorial ways

Il y a 52 façons factorielles

of arranging 52 cards.

de réorganiser 52 cartes.

Fortunately, we don't have to calculate this by hand.

Heureusement, nous n'avons pas besoin de calculer à la main.

Just enter the function into a calculator,

Il suffit d'entrer la fonction dans une calculatrice,

and it will show you that the number of

et elle vous montrera que le nombre

possible arrangements is

d'arrangements possibles est

8.07 x 10^67,

8,07 x 10 ^ 67,

or roughly eight followed by 67 zeros.

ou environ 8 suivi de 67 zéros.

Just how big is this number?

Ce nombre est grand comment ?

Well, if a new permutation of 52 cards

Eh bien, si une nouvelle permutation de 52 cartes

were written out every second

était écrite à chaque seconde

starting 13.8 billion years ago,

en commençant il y a 13,8 milliards d'années,

when the Big Bang is thought to have occurred,

quand on pense qu'a eu lieu le Big Bang,

the writing would still be continuing today

on continuerait encore à l'écrire aujourd'hui

and for millions of years to come.

et qu'on poursuivrait pendant des millions d'années à venir.

In fact, there are more possible

En fait, il y a plus de façons possibles

ways to arrange this simple deck of cards

d'arranger ce simple jeu de cartes

than there are atoms on Earth.

qu'il n'y a d'atomes sur la Terre.

So the next time it's your turn to shuffle,

Alors la prochaine fois que ce sera votre tour de battre les cartes,

take a moment to remember

prenez un moment pour vous souvenir

that you're holding something that

que vous tenez quelque chose qui

may have never before existed

n'aura peut-être jamais existé avant

and may never exist again.

et n'existera peut-être plus jamais à nouveau.