Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Translator: Madelene Galan Mogensen Reviewer: Sune Vilsted Østergaard

Like many heroes of Greek myths,

Som så mange helte fra græsk mytologi,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

var filosoffen Hippasus berygtet for at have været dømt til døden af guderne.

But what was his crime?

Men hvad var hans ugerning?

Did he murder guests,

Havde han dræbt gæster

or disrupt a sacred ritual?

eller forstyrret et helligt ritual?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Nej, Hippasus' overtrædelse var grundet et matematisk bevis:

the discovery of irrational numbers.

opdagelsen af irrationelle tal.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hippasus tilhørte pythagoræiske matematikere,

who had a religious reverence for numbers.

som havde en religiøs ærefrygt for numre.

Their dictum of, "All is number,"

Deres talmåde "Alt er tal",

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

foreslå at numre var universets byggeklodser.

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

En del af denne overbevisning var at alting fra kosmologi og metafysik

to music and morals followed eternal rules

til musik og moraler er baseret på evige regler,

describable as ratios of numbers.

som kan beskrives af brøker.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Således kan et hvert tal omskrives til en brøk.

5 as 5/1,

5 kan omskrives til 5/1

0.5 as 1/2

0,5 kan omskrives til 1/2

and so on.

og så videre.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Selv et tal med uendelige decimaler, som dette, kan omskrives præcist til 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Alle disse numre er hvad der nu er kendt som rationelle tal.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Hippasus fandt et nummer som brød denne harmoniske regel,

one that was not supposed to exist.

et nummer som ikke burde eksistere.

The problem began with a simple shape,

Problemet opstod ved en simpel form.

a square with each side measuring one unit.

En firkant med sidelængder på 1 enhed.

According to Pythagoras Theorem,

Ifølge Pyhtagoras lærersætning,

the diagonal length would be square root of two,

udregnes diagonalen til at være kvadratroden af 2,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

selvom Hippatsus prøvede kunne han ikke omskrive dette til en brøk af to heltal.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

I stedet for at give op, besluttede han sig for at modbevise det.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hippasus begyndte med at antage at den Pythagoræiske verdensopfattelse var sand,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

og at kvadratroden af 2 godt kunne omskrives til en brøk af to heltal.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Han navngav disse hypotetiske heltal p og q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Forudsat at brøken var i sin simpleste form,

p and q could not have any common factors.

så kan p og q ikke have nogle fælles faktorer.

To prove that root 2 was not rational,

For at bevise at kvadratroden af 2 ikke er rationel

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

skulle han blot bevise p/q ikke kan eksistere.

So he multiplied both sides of the equation by q

Så han gangede begge sider af ligningen med q

and squared both sides.

og satte begge sider i 2. potens.

which gave him this equation.

Hvilket resulterede i denne ligning.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Ethvert tal der er ganget med to 2 giver et lige tal,

so p^2 had to be even.

derfor skal p^2 være et lige tal.

That couldn't be true if p was odd

Dette er ikke sandt hvis p er et ulige nummer

because an odd number times itself is always odd,

da et ulige tal i 2. potens er altid ulige

so p was even as well.

så p er også et lige tal.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Derfor kan p udtrykkes som 2a hvor a er et heltal.

Substituting this into the equation and simplifying

Indsætter man dette i ligningen og reducerer ligningen,

gave q^2 = 2a^2

opnår man q^2=2a^2

Once again, two times any number produces an even number,

Ligesom før, så er produktet af et tal ganget med 2 altid lige

so q^2 must have been even,

så q^2 bør være lige,

and q must have been even as well,

og det bør q også være,

making both p and q even.

som gør både p og q til lige tal.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Men hvis dette var sandt, så havde de 2 som fælles faktor,

which contradicted the initial statement,

hvilket strider imod den første antagelse.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

Således bevidste Hippasus at kvadratroden af 2 ikke kan omskrives til en brøk.

That's called a proof by contradiction,

Dette er et modstridsbevis

and according to the legend,

og ifølge myten

the gods did not appreciate being contradicted.

var guderne ikke glade for at blive modbevist.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Selvom at man ikke kan omskrive irrationelle tal,

as ratios of integers,

som en brøk af heltal,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

så er det muligt at placere nogle af dem præcist på en tallinje.

Take root 2.

F.eks. kvadratroden af 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Man skal blot bruge er en retvinklet trekant med sidelængder på 1 enhed.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

Hypotenusen får dermed en længde på kvadratrod 2, som kan forlænges.

We can then form another right triangle

Fra den kan en ny retvinklet trekant tegnes.

with a base of that length and a one unit height,

med en grundlinje af den længde, og en højde på 1 enhed

and its hypotenuse would equal root three,

Den nye trekants hypotenuse er kvadratrod 3,

which can be extended along the line, as well.

som også kan forlænges.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

Hemmeligheden bag dette er at decimaler og brøker blot er måder at skrive tal på.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

Kvadratroden af 2 er blot hypotenusen af en retvinklet trekant

with sides of a length one.

med sidelængder på 1 enhed.

Similarly, the famous irrational number pi

Ligeledes er det kendte irrationelle tal pi

is always equal to exactly what it represents,

altid det samme som definitionen:

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

forholdet mellem en cirkels omkreds og diameter.

Approximations like 22/7,

Tilnærmelser som 22/7

or 355/113 will never precisely equal pi.

eller 355/113 kan aldrig være helt det samme som pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Hvad der egentlig skete med Hippasus er uvist,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

vi ved dog at han revolutionerede matematik med sit bevis.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Hvad end myterne påstår, så skal du ikke være bange for at udforske det umulige.