Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Traductor: Sebastian Betti Revisor: Ciro Gomez

Like many heroes of Greek myths,

Al igual que muchos héroes de la mitología griega,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

se decía que el filósofo Hípaso fue castigado a muerte por los dioses.

But what was his crime?

Pero ¿cuál fue su crimen?

Did he murder guests,

¿Asesinó a los huéspedes,

or disrupt a sacred ritual?

o interrumpió un ritual sagrado?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

No, la transgresión de Hípaso fue una demostración matemática:

the discovery of irrational numbers.

el descubrimiento de los números irracionales.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hípaso pertenecía a un grupo llamado matemáticos pitagóricos

who had a religious reverence for numbers.

que tenía una veneración religiosa por los números.

Their dictum of, "All is number,"

Su dicho de "Todo es un número"

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

sugería que los números eran los bloques de construcción del universo

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

y parte de esta creencia era que todo, desde la cosmología y la metafísica

to music and morals followed eternal rules

hasta la música y la moral, seguía reglas eternas

describable as ratios of numbers.

descriptibles como cocientes de números.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Por lo tanto, cualquier número podía escribirse como una proporción.

5 as 5/1,

5 como 5/1,

0.5 as 1/2

0,5 como 1/2,

and so on.

etcétera.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Incluso un decimal infinito como este se podía expresar como 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Son los que ahora llamamos números racionales.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Pero Hípaso encontró un número que viola esta regla armoniosa,

one that was not supposed to exist.

que no se suponía que existiera.

The problem began with a simple shape,

El problema empezó con una forma sencilla,

a square with each side measuring one unit.

un cuadrado en el que cada lado medía una unidad.

According to Pythagoras Theorem,

Según el teorema de Pitágoras,

the diagonal length would be square root of two,

la longitud de la diagonal sería la raíz cuadrada de 2,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

pero por más que lo intentó,

Hípaso no pudo expresarlo como una fracción de enteros.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Y en vez de rendirse, decidió demostrar que no era posible.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hípaso empezó suponiendo que la visión del mundo de Pitágoras era verdadera,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

que la raíz de 2 podría expresarse como una proporción de dos números enteros.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Etiquetó a estos enteros hipotéticos como p y q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Suponiendo que la proporción se redujo a su forma más simple,

p and q could not have any common factors.

p y q no podían tener ningún factor común.

To prove that root 2 was not rational,

Para demostrar que la raíz cuadrada de 2 no era racional,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hípaso solo tenía que probar que p/q no puede existir.

So he multiplied both sides of the equation by q

Para esto multiplicó ambos lados de la ecuación por q

and squared both sides.

y elevó al cuadrado ambos lados,

which gave him this equation.

eso le dio esta ecuación.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Multiplicar cualquier número por 2 da un número par,

so p^2 had to be even.

así que p^2 tenía que ser par.

That couldn't be true if p was odd

Eso no podía ser cierto si p era impar

because an odd number times itself is always odd,

porque un número impar multiplicado por sí mismo es siempre impar,

so p was even as well.

por lo que, entonces, p era par.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Por lo tanto, p podría expresarse como 2a, donde a es un número entero.

Substituting this into the equation and simplifying

Sustituyendo esto en la ecuación y simplificando

gave q^2 = 2a^2

daba q^2 = 2a^2.

Once again, two times any number produces an even number,

Una vez más, dos veces cualquier número da un número par,

so q^2 must have been even,

por lo que q^2 debe haber sido par,

and q must have been even as well,

y q debe haber sido par también,

making both p and q even.

por lo tanto p y q serían pares.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Pero si eso era cierto, entonces tenían a 2 como factor común,

which contradicted the initial statement,

lo que contradice la declaración inicial,

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

y así Hípaso concluyó que no existe tal proporción.

That's called a proof by contradiction,

Es una prueba por reducción al absurdo

and according to the legend,

y, según la leyenda,

the gods did not appreciate being contradicted.

los dioses no apreciaron ser rebatidos.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Curiosamente, si bien no se puede expresar números irracionales

as ratios of integers,

como proporciones de números enteros,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

es posible graficar con precisión algunos de ellos en la recta numérica.

Take root 2.

Ej., la raíz cuadrada de 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Formamos un triángulo rectángulo donde cada lado mide una unidad.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

La hipotenusa mide raíz cuadrada de 2, y puede ampliarse por la línea.

We can then form another right triangle

Luego podemos formar otro triángulo rectángulo

with a base of that length and a one unit height,

con una base de esa longitud y una altura de una unidad,

and its hypotenuse would equal root three,

y su hipotenusa sería igual a la raíz cuadrada de 3,

which can be extended along the line, as well.

que puede ampliarse por la línea, también.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

La clave es que decimales y proporciones son solo formas de expresar números.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

La raíz cuadrada de 2 es la hipotenusa de un triángulo rectángulo

with sides of a length one.

con lados de longitud uno.

Similarly, the famous irrational number pi

Del mismo modo, el famoso número irracional pi

is always equal to exactly what it represents,

siempre es igual a lo que representa:

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

la proporción de la circunferencia de un círculo a su diámetro.

Approximations like 22/7,

Aproximaciones como 22/7,

or 355/113 will never precisely equal pi.

o 355/113 nunca serán exactamente pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Nunca sabremos qué le pasó realmente a Hípaso,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

pero sí sabemos que su descubrimiento revolucionó las matemáticas.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Así que sin importar qué digan los mitos, no temas a explorar lo imposible.