Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Translator: sadegh zabihi Reviewer: soheila Jafari

Like many heroes of Greek myths,

مثل بسیاری از قهرمانان افسانه‌های یونان،

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

نقل است که خدایان هیپاسوس فیلسوف را با مرگ به مجازات رساندند.

But what was his crime?

اما گناه او چه بود؟

Did he murder guests,

آیا مهمانی را کشته بود،

or disrupt a sacred ritual?

یا مراسم مقدس را مختل کرده بود؟

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

نه، خطای هیپاسوس یک اثبات ریاضی بود:

the discovery of irrational numbers.

کشف اعداد گنگ.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

هیپاسوس به گروهی به نام ریاضی دانان فیثاغورسی تعلق داشت

who had a religious reverence for numbers.

که احترامی مذهبی برای اعداد قائل بودند.

Their dictum of, "All is number,"

حکم «همه چیز عدد است،»

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

بیان می‌کرد که اعداد سنگ بنای کائنات هستند

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

و بخشی از این باور به این دلیل بود که همه چیز از کیهان شناسی و متافیزیک گرفته

to music and morals followed eternal rules

تا موسیقی و اخلاق از قوائدی جاودان پیروی می‌کردند

describable as ratios of numbers.

که با نسبت‌هایی از اعداد قابل توصیف بود.

Thus, any number could be written as such a ratio.

بنابراین، هر عددی می‌توانست به صورت کسری نوشته شود.

5 as 5/1,

۵ به صورت ۵/۱،

0.5 as 1/2

۰.۵ به صورت ۱/۲

and so on.

و به همین ترتیب.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

حتی یک عدد اعشاری نامتناهی مثل این هم می‌توانست دقیقا با کسر ۳۴/۴۵ مشخص شود.

All of these are what we now call rational numbers.

همه این‌ها اعدادی هستند که به آنها اعداد گویا می‌گوییم.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

اما هیپاسوس عددی را کشف کرد که ناقض این قانون هماهنگ بود،

one that was not supposed to exist.

عددی که قرار نبود وجود داشته باشد.

The problem began with a simple shape,

مشکل با یک شکل ساده شروع شد،

a square with each side measuring one unit.

مربعی با اضلاع به طول واحد.

According to Pythagoras Theorem,

بر اساس قضیه فیثاغورس،

the diagonal length would be square root of two,

طول قطر برابر با ریشه دوم دو خواهد بود،

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

اما هرچه هیپاسوس تلاش کرد نتوانست آن را به شکل کسری از دو عدد گویا بیان کند.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

و به جای منصرف شدن، او تصمیم گرفت ثابت کند که این کار غیرممکن است.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

هیپاسوس با فرض درست بودن جهان بینی فیثاغورسی کار خود را آغاز کرد،

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

که ریشه ۲ را می‌توان به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت.

He labeled these hypothetical integers p and q.

او این دو عدد صحیح فرضی را p و q نامید.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

فرض کنید که این کسر تا جای ممکن ساده شده

p and q could not have any common factors.

و p و q هیچ عامل مشترکی ندارند.

To prove that root 2 was not rational,

برای اثبات گویا نبودن ریشه ۲،

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

هیپاسوس تنها باید نشان می‌داد که کسر p/q نمی‌تواند وجود داشته باشد.

So he multiplied both sides of the equation by q

پس او دو طرف معادله را در q ضرب کرد

and squared both sides.

و هر دو طرف را به توان دو رساند.

which gave him this equation.

و به این معادله رسید.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

حاصل ضرب هر عدد در ۲ عددی زوج خواهد بود،

so p^2 had to be even.

پس p به توان ۲ باید زوج باشد.

That couldn't be true if p was odd

و اگر p فرد باشد این نمی‌تواند درست باشد

because an odd number times itself is always odd,

چون هر عدد فرد به هر توانی عددی فرد خواهد بود،

so p was even as well.

پس p عددی زوج است.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

به این ترتیب، p می‌تواند به صورت ۲a نوشته شود و a عددی صحیح است.

Substituting this into the equation and simplifying

با قرار دادن این عدد در معادله و ساده کردن

gave q^2 = 2a^2

q به توان ۲ برابر با ۲ در a به توان ۲ خواهد بود.

Once again, two times any number produces an even number,

یک بار دیگر، حاصل ضرب دو در هر عددی زوج خواهد بود،

so q^2 must have been even,

پس q به توان ۲ عددی زوج است،

and q must have been even as well,

و به این ترتیب q هم باید زوج باشد،

making both p and q even.

یعنی q و p هر دو زوج هستند.

But if that was true, then they had a common factor of two,

اما اگر این درست باشد، پس ۲ عامل مشترک آنها است،

which contradicted the initial statement,

و به این صورت فرض اولیه نقض می‌شود،

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

و به این ترتیب هیپاسوس نشان داد که این چنین نسبتی وجود ندارد.

That's called a proof by contradiction,

به این می‌گویند برهان خلف،

and according to the legend,

و بر اساس افسانه،

the gods did not appreciate being contradicted.

خدایان علاقه‌ای به نقض شدن نداشتند.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

جالب این است که با وجود اینکه نمی‌توان اعداد گنگ را

as ratios of integers,

به صورت کسری نوشت،

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

می‌توان اندازه دقیق بعضی از آنها را بر روی محور اعداد نشان داد.

Take root 2.

جذر دو را در نظر بگیرید.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

تنها کاری که باید بکنیم این است که یک مثلث قائم الزاویه با دو ضلع قائمه

به طول واحد رسم کنیم.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

اندازه وتر جذر ۲ خواهد بود و می‌توان آن را روی محور نشان داد.

We can then form another right triangle

سپس می‌توانیم مثلثی دیگر با قاعده‌ای به آن طول

with a base of that length and a one unit height,

و ارتفاعی به طول واحد رسم کنیم،

and its hypotenuse would equal root three,

و اندازه وتر آن مثلث برابر با جذر ۳ خواهد بود،

which can be extended along the line, as well.

که آن هم می‌تواند بر روی محور تعمیم داده شود.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

نکته اینجا است که ارقام و نسبت‌ها تنها راهی برای نشان دادن اعداد هستند.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

جذر ۲ به سادگی اندازه وتر یک مثلث قائم الزاویه

with sides of a length one.

با اضلاع واحد است.

Similarly, the famous irrational number pi

به طور مشابه، عدد گنگ مشهور پی

is always equal to exactly what it represents,

دقیقا برابر با چیزی است که معرف آن است،

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

نسبت محیط یک دایره به قطر آن.

Approximations like 22/7,

تقریب‌هایی مانند ۲۲/۷،

or 355/113 will never precisely equal pi.

یا ۳۵۵/۱۱۳ هرگز دقیقا برابر با پی نخواهند بود.

We'll never know what really happened to Hippasus,

هیچ گاه نخواهیم دانست چه اتفاقی برای هیپاسوس افتاد،

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

اما چیزی که می‌دانیم این است که کشف او انقلابی را در ریاضیات رقم زد.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

پس هرچه داستان‌ها می‌گویند بگویند، اما شما هرگز از کاوش ناممکن نهراسید.