Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

فهم الأعداد الصم - غانيش باي

المترجم: fatima ma المدقّق: Ghalia Turki

Like many heroes of Greek myths,

كالعديد من أبطال الأساطير اليونانية

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

كان يُشاع أن الفيلسوف هيبسوس قد عُوقب بالموت من قبل الآلهة.

But what was his crime?

لكن ما كانت جريمته؟

Did he murder guests,

هل قتل النزلاء؟

or disrupt a sacred ritual?

أو أنه عرقل شعائر دينية؟

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

كلا، كان تجاوز هيبسوس البرهان الرياضي:

the discovery of irrational numbers.

اكتشاف الأعداد الصم.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

انتمى هيبسوس لمجموعة سُميت علماء الرياضيات الفيثاغورية

who had a religious reverence for numbers.

التي لديها تعصب عقائدي للأرقام.

Their dictum of, "All is number,"

مقولتهم المأثورة، "كل الأشياء هي رقم"

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

أشاروا إلى أن الأرقام هي اللبنات الأساسية للكون

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

وجزء من هذا الاعتقاد كان أن كل شيء من علم الفلك والميتافيزيقيا

to music and morals followed eternal rules

إلى الموسيقا والآداب تابعة لقوانين أبدية

describable as ratios of numbers.

تصفها كنسب من الأرقام

Thus, any number could be written as such a ratio.

وهكذا، أي رقم من الممكن كتابته كنسبة

5 as 5/1,

5 كـ 5/1

0.5 as 1/2

0.5 كـ 1/2

and so on.

وهكذا.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

وإن كان توسع الفاصلة العشرية لا نهاية له فهذا يمكن التعبير عنه تماماً كـ 34/45

All of these are what we now call rational numbers.

كل ذلك هو ما نسميه الأرقام النسبية

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

لكن هيبسوس اكتشف عدد يخرق هذه القاعدة المتناغمة،

one that was not supposed to exist.

ذاك العدد الذي كان من المفترض عدم وجوده.

The problem began with a simple shape,

المشكلة بدأت مع شكل بسيط،

a square with each side measuring one unit.

مربع بقياس وحدة واحدة لكل ضلع جانبي

According to Pythagoras Theorem,

وفقاً لنظرية فيثاغورث،

the diagonal length would be square root of two,

طول القطر هو الجذر التربيعي لطولي الضلعين

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

لكن في محاولة ربما، لم يتمكن هيبسوس من التعبيرعنها كنسبة بين أعداد صحيحة

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

وبدلاً من الاستسلام، قرر إثبات عدم إمكانية ذلك

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

هيبسوس بدأ بافتراض أن نظرية فيثاغورث صحيحة

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

يمكن التعبير عن جذرالـ 2 بنسبة من عددين صحيحين

He labeled these hypothetical integers p and q.

وأطلق على تلك الأعداد الصحيحة الافتراضية p و q

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

مُفترضاً أن النسبة تناقصت لأبسط شكل

p and q could not have any common factors.

فلا يمكن أن يأخذ p و q أي عوامل مشتركة

To prove that root 2 was not rational,

لإثبات أن جذر الـ 2 لم يكن نسبي،

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

يجب على هيبسوس إثبات عدم إمكانية وجود p/q.

So he multiplied both sides of the equation by q

لذا ضرب طرفي المعادلة كلاهما بالعدد q

and squared both sides.

وقام بتربيع الطرفين

which gave him this equation.

والذي أعطاه هذه المعادلة

Multiplying any number by 2 results in an even number,

ضرب أي رقم بالعدد 2 ينتج عنه عدد زوجي

so p^2 had to be even.

إذاً p^2 يجب أن يكون زوجي

That couldn't be true if p was odd

ذلك لا يمكن أن يكون صحيحاً إذا كان p فردياً

because an odd number times itself is always odd,

لأن ضرب العدد الفردي بنفسه الناتج دائماً فردي

so p was even as well.

إذاً p كان زوجي كذلك

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

بالتالي، p يمكن التعبير عنه كـ 2a حيث a هو عدد صحيح

Substituting this into the equation and simplifying

استبدال هذا بمعادلة وتبسيطها

gave q^2 = 2a^2

يعطي q^2 = 2a^2

Once again, two times any number produces an even number,

مرة أخرى، ضرب أي عدد بنفسه مرتين يعطي عدد زوجي

so q^2 must have been even,

لذا q^2 يجب أن يكون زوجي،

and q must have been even as well,

و يجب أن يكون p أيضاً زوجي،

making both p and q even.

يجعل الطرفين p و q زوجيين.

But if that was true, then they had a common factor of two,

لكن إن كان هذا صحيحاً، فإنهما يملكان عامل مشترك

which contradicted the initial statement,

والذي يُناقض التعبير الأولي،

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

وتلك كانت طريقة هيبسوس في إبرام عدم وجود مثل تلك النسبة

That's called a proof by contradiction,

سمي ذلك البرهان بفرض النقض

and according to the legend,

وحسب الأسطورة

the gods did not appreciate being contradicted.

فإن الآلهة لا تقبل النقض

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

ومن المثير للاهتمام، أنه على الرغم من عدم إمكانية التعبير عن الأعداد الصم

as ratios of integers,

كنسب من الأعداد الصحيحة

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

فمن الممكن رسم بعضها بدقة على خط الأعداد

Take root 2.

خذ جذر 2

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

كل ما نحتاج فعله هو تشكيل مثلث قائم الزاوية بضلعين بقياس وحدة واحدة

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

طول الوتر جذر2 والذي يمكنه التمدد على طول الخط.

We can then form another right triangle

بإمكاننا بعدها تشكيل مثلث آخر قائم الزاوية

with a base of that length and a one unit height,

مع قاعدة بذلك الطول وارتفاع وحدة واحدة

and its hypotenuse would equal root three,

ويجب أن يكون وتره يساوي جذر3

which can be extended along the line, as well.

والذي يمكن أن يمتد على طول الخط، تماماً

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

السر أن الكسور العشرية والنسب هي الطريقتين الوحيدتين للتعبير عن الأرقام

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

جذر2 ببساطة هو وتر مثلث قائم الزاوية

with sides of a length one.

مع طولي ضلعين جانبيين وحدة واحدة

Similarly, the famous irrational number pi

بالمثل، العدد الأصم المشهور pi

is always equal to exactly what it represents,

دائماً يساوي تماماً ما يمثله

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

نسبة محيط الدائرة إلى قطرها

Approximations like 22/7,

قيمة تقريبية مثل 22/7

or 355/113 will never precisely equal pi.

أو 355/113 لن تساوي تماماً pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

لن نعرف أبداً ما حدث حقاً لهيبسوس

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

لكن ما نعلمه أن اكتشافه ذلك هو ثورة في الرياضيات

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

لذا أياً كان ما تقوله الأساطير لا تخف من اكتشاف المستحيل.