Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

فهم الأعداد الصم - غانيش باي

1,907,529 views ・ 2016-05-23

TED-Ed


يرجى النقر نقرًا مزدوجًا فوق الترجمة الإنجليزية أدناه لتشغيل الفيديو.

المترجم: fatima ma المدقّق: Ghalia Turki
00:06
Like many heroes of Greek myths,
0
6951
1762
كالعديد من أبطال الأساطير اليونانية
00:08
the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.
1
8713
5217
كان يُشاع أن الفيلسوف هيبسوس قد عُوقب بالموت من قبل الآلهة.
00:13
But what was his crime?
2
13930
1676
لكن ما كانت جريمته؟
00:15
Did he murder guests,
3
15606
1351
هل قتل النزلاء؟
00:16
or disrupt a sacred ritual?
4
16957
2517
أو أنه عرقل شعائر دينية؟
00:19
No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:
5
19474
4050
كلا، كان تجاوز هيبسوس البرهان الرياضي:
00:23
the discovery of irrational numbers.
6
23524
3059
اكتشاف الأعداد الصم.
00:26
Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians
7
26583
3728
انتمى هيبسوس لمجموعة سُميت علماء الرياضيات الفيثاغورية
00:30
who had a religious reverence for numbers.
8
30311
2611
التي لديها تعصب عقائدي للأرقام.
00:32
Their dictum of, "All is number,"
9
32922
2541
مقولتهم المأثورة، "كل الأشياء هي رقم"
00:35
suggested that numbers were the building blocks of the Universe
10
35463
3550
أشاروا إلى أن الأرقام هي اللبنات الأساسية للكون
00:39
and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics
11
39013
4304
وجزء من هذا الاعتقاد كان أن كل شيء من علم الفلك والميتافيزيقيا
00:43
to music and morals followed eternal rules
12
43317
3160
إلى الموسيقا والآداب تابعة لقوانين أبدية
00:46
describable as ratios of numbers.
13
46477
3698
تصفها كنسب من الأرقام
00:50
Thus, any number could be written as such a ratio.
14
50175
3313
وهكذا، أي رقم من الممكن كتابته كنسبة
00:53
5 as 5/1,
15
53488
2507
5 كـ 5/1
00:55
0.5 as 1/2
16
55995
3090
0.5 كـ 1/2
00:59
and so on.
17
59085
1420
وهكذا.
01:00
Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.
18
60505
7402
وإن كان توسع الفاصلة العشرية لا نهاية له فهذا يمكن التعبير عنه تماماً كـ 34/45
01:07
All of these are what we now call rational numbers.
19
67907
3514
كل ذلك هو ما نسميه الأرقام النسبية
01:11
But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,
20
71421
4630
لكن هيبسوس اكتشف عدد يخرق هذه القاعدة المتناغمة،
01:16
one that was not supposed to exist.
21
76051
2774
ذاك العدد الذي كان من المفترض عدم وجوده.
01:18
The problem began with a simple shape,
22
78825
2570
المشكلة بدأت مع شكل بسيط،
01:21
a square with each side measuring one unit.
23
81395
3710
مربع بقياس وحدة واحدة لكل ضلع جانبي
01:25
According to Pythagoras Theorem,
24
85105
1793
وفقاً لنظرية فيثاغورث،
01:26
the diagonal length would be square root of two,
25
86898
3285
طول القطر هو الجذر التربيعي لطولي الضلعين
01:30
but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.
26
90183
5345
لكن في محاولة ربما، لم يتمكن هيبسوس من التعبيرعنها كنسبة بين أعداد صحيحة
01:35
And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.
27
95528
4311
وبدلاً من الاستسلام، قرر إثبات عدم إمكانية ذلك
01:39
Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,
28
99839
4357
هيبسوس بدأ بافتراض أن نظرية فيثاغورث صحيحة
01:44
that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.
29
104196
4949
يمكن التعبير عن جذرالـ 2 بنسبة من عددين صحيحين
01:49
He labeled these hypothetical integers p and q.
30
109145
3836
وأطلق على تلك الأعداد الصحيحة الافتراضية p و q
01:52
Assuming the ratio was reduced to its simplest form,
31
112981
3377
مُفترضاً أن النسبة تناقصت لأبسط شكل
01:56
p and q could not have any common factors.
32
116358
3599
فلا يمكن أن يأخذ p و q أي عوامل مشتركة
01:59
To prove that root 2 was not rational,
33
119957
3030
لإثبات أن جذر الـ 2 لم يكن نسبي،
02:02
Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.
34
122987
5087
يجب على هيبسوس إثبات عدم إمكانية وجود p/q.
02:08
So he multiplied both sides of the equation by q
35
128074
3348
لذا ضرب طرفي المعادلة كلاهما بالعدد q
02:11
and squared both sides.
36
131422
1869
وقام بتربيع الطرفين
02:13
which gave him this equation.
37
133291
2029
والذي أعطاه هذه المعادلة
02:15
Multiplying any number by 2 results in an even number,
38
135320
3954
ضرب أي رقم بالعدد 2 ينتج عنه عدد زوجي
02:19
so p^2 had to be even.
39
139274
3058
إذاً p^2 يجب أن يكون زوجي
02:22
That couldn't be true if p was odd
40
142332
2383
ذلك لا يمكن أن يكون صحيحاً إذا كان p فردياً
02:24
because an odd number times itself is always odd,
41
144715
3439
لأن ضرب العدد الفردي بنفسه الناتج دائماً فردي
02:28
so p was even as well.
42
148154
2548
إذاً p كان زوجي كذلك
02:30
Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.
43
150702
5474
بالتالي، p يمكن التعبير عنه كـ 2a حيث a هو عدد صحيح
02:36
Substituting this into the equation and simplifying
44
156176
2898
استبدال هذا بمعادلة وتبسيطها
02:39
gave q^2 = 2a^2
45
159074
4174
يعطي q^2 = 2a^2
02:43
Once again, two times any number produces an even number,
46
163248
3932
مرة أخرى، ضرب أي عدد بنفسه مرتين يعطي عدد زوجي
02:47
so q^2 must have been even,
47
167180
2741
لذا q^2 يجب أن يكون زوجي،
02:49
and q must have been even as well,
48
169921
2091
و يجب أن يكون p أيضاً زوجي،
02:52
making both p and q even.
49
172012
2381
يجعل الطرفين p و q زوجيين.
02:54
But if that was true, then they had a common factor of two,
50
174393
3317
لكن إن كان هذا صحيحاً، فإنهما يملكان عامل مشترك
02:57
which contradicted the initial statement,
51
177710
2866
والذي يُناقض التعبير الأولي،
03:00
and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.
52
180576
4220
وتلك كانت طريقة هيبسوس في إبرام عدم وجود مثل تلك النسبة
03:04
That's called a proof by contradiction,
53
184796
1960
سمي ذلك البرهان بفرض النقض
03:06
and according to the legend,
54
186756
1478
وحسب الأسطورة
03:08
the gods did not appreciate being contradicted.
55
188234
3219
فإن الآلهة لا تقبل النقض
03:11
Interestingly, even though we can't express irrational numbers
56
191453
3475
ومن المثير للاهتمام، أنه على الرغم من عدم إمكانية التعبير عن الأعداد الصم
03:14
as ratios of integers,
57
194928
1874
كنسب من الأعداد الصحيحة
03:16
it is possible to precisely plot some of them on the number line.
58
196802
4089
فمن الممكن رسم بعضها بدقة على خط الأعداد
03:20
Take root 2.
59
200891
1258
خذ جذر 2
03:22
All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.
60
202149
5695
كل ما نحتاج فعله هو تشكيل مثلث قائم الزاوية بضلعين بقياس وحدة واحدة
03:27
The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.
61
207844
4752
طول الوتر جذر2 والذي يمكنه التمدد على طول الخط.
03:32
We can then form another right triangle
62
212596
2548
بإمكاننا بعدها تشكيل مثلث آخر قائم الزاوية
03:35
with a base of that length and a one unit height,
63
215144
3347
مع قاعدة بذلك الطول وارتفاع وحدة واحدة
03:38
and its hypotenuse would equal root three,
64
218491
2644
ويجب أن يكون وتره يساوي جذر3
03:41
which can be extended along the line, as well.
65
221135
2797
والذي يمكن أن يمتد على طول الخط، تماماً
03:43
The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.
66
223932
5021
السر أن الكسور العشرية والنسب هي الطريقتين الوحيدتين للتعبير عن الأرقام
03:48
Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle
67
228953
3995
جذر2 ببساطة هو وتر مثلث قائم الزاوية
03:52
with sides of a length one.
68
232948
1927
مع طولي ضلعين جانبيين وحدة واحدة
03:54
Similarly, the famous irrational number pi
69
234875
3384
بالمثل، العدد الأصم المشهور pi
03:58
is always equal to exactly what it represents,
70
238259
2869
دائماً يساوي تماماً ما يمثله
04:01
the ratio of a circle's circumference to its diameter.
71
241128
3442
نسبة محيط الدائرة إلى قطرها
04:04
Approximations like 22/7,
72
244570
2995
قيمة تقريبية مثل 22/7
04:07
or 355/113 will never precisely equal pi.
73
247565
6142
أو 355/113 لن تساوي تماماً pi.
04:13
We'll never know what really happened to Hippasus,
74
253707
2511
لن نعرف أبداً ما حدث حقاً لهيبسوس
04:16
but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.
75
256218
4447
لكن ما نعلمه أن اكتشافه ذلك هو ثورة في الرياضيات
04:20
So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.
76
260665
4271
لذا أياً كان ما تقوله الأساطير لا تخف من اكتشاف المستحيل.
حول هذا الموقع

سيقدم لك هذا الموقع مقاطع فيديو YouTube المفيدة لتعلم اللغة الإنجليزية. سترى دروس اللغة الإنجليزية التي يتم تدريسها من قبل مدرسين من الدرجة الأولى من جميع أنحاء العالم. انقر نقرًا مزدوجًا فوق الترجمة الإنجليزية المعروضة على كل صفحة فيديو لتشغيل الفيديو من هناك. يتم تمرير الترجمات بالتزامن مع تشغيل الفيديو. إذا كان لديك أي تعليقات أو طلبات ، يرجى الاتصال بنا باستخدام نموذج الاتصال هذا.

https://forms.gle/WvT1wiN1qDtmnspy7