Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Μετάφραση: Dimitris Memtsas Επιμέλεια: Chryssa R. Takahashi

Like many heroes of Greek myths,

Όπως πολλοί ήρωες Ελληνικών μύθων

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

ο φιλόσοφος Ίππασος φημολογείται ότι τιμωρήθηκε με θάνατο από τους θεούς.

But what was his crime?

Ποιο όμως ήταν το έγκλημά του;

Did he murder guests,

Μήπως δολοφόνησε επισκέπτες,

or disrupt a sacred ritual?

ή διατάραξε κάποια ιερή τελετουργία;

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Όχι, το αδίκημα του Ίππασου ήταν μια μαθηματική απόδειξη,

the discovery of irrational numbers.

η ανακάλυψη των άρρητων αριθμών.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Ο Ίππασος ανήκε στην ονομαζόμενη ομάδα των Πυθαγορείων,

who had a religious reverence for numbers.

οι οποίοι είχαν θρησκευτική ευλάβεια για τους αριθμούς.

Their dictum of, "All is number,"

Το ρητό τους, «Όλα είναι αριθμός»,

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

υποδήλωνε ότι οι αριθμοί είναι τα δομικά στοιχεία του Σύμπαντος

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

και μέρος αυτής της πεποίθησης ήταν ότι όλα, από την κοσμολογία και τη μεταφυσική

to music and morals followed eternal rules

μέχρι τη μουσική και την ηθική, ακολουθούσαν αιώνιους κανόνες

describable as ratios of numbers.

που μπορούσαν να περιγραφούν ως λόγοι αριθμών.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Άρα, κάθε αριθμός θα μπορούσε να γραφεί σαν ένας τέτοιος λόγος.

5 as 5/1,

Το 5 ως 5/1,

0.5 as 1/2

το 0,5 ως 1/2

and so on.

και ούτω καθεξής.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Ακόμη κι ένας δεκαδικός με άπειρα δεκαδικά ψηφία όπως αυτός

θα μπορούσε να εκφραστεί ακριβώς ως 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Πρόκειται για όλα εκείνα που ονομάζουμε ρητούς αριθμούς.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Όμως ο Ίππασος βρήκε έναν αριθμό που παραβίαζε αυτό τον αρμονικό κανόνα,

one that was not supposed to exist.

κάποιον που δεν έπρεπε να υπάρχει.

The problem began with a simple shape,

Το πρόβλημα άρχισε με ένα απλό σχήμα,

a square with each side measuring one unit.

ένα τετράγωνο με πλευρά μήκους μίας μονάδας.

According to Pythagoras Theorem,

Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο Θεώρημα,

the diagonal length would be square root of two,

το μήκος της διαγωνίου θα ήταν η τετραγωνική ρίζα του δύο,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

αλλά παρά την προσπάθειά του, ο Ίππασος δεν μπορούσε

να το εκφράσει ως λόγο δύο ακεραίων.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Αντί να τα παρατήσει, αποφάσισε να αποδείξει

ότι αυτό δεν μπορούσε να γίνει.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Ο Ίππασος ξεκίνησε θεωρώντας ότι η άποψη των Πυθαγορείων

για τον κόσμο ήταν αληθινή,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

ότι η ρίζα 2 μπορούσε να εκφραστεί ως λόγος δύο ακεραίων.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Ονόμασε αυτούς τους υποτιθέμενους ακεραίους p και q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Θεωρώντας ότι ο λόγος είχε αναχθεί στην απλούστερη μορφή του,

p and q could not have any common factors.

τα p και q δεν θα μπορούσαν να έχουν κανένα κοινό παράγοντα.

To prove that root 2 was not rational,

Για να αποδείξει ότι η ρίζα 2 δεν ήταν ρητός,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

ο Ίππασος απλώς έπρεπε να αποδείξει ότι ο p/q δεν μπορούσε να υπάρχει.

So he multiplied both sides of the equation by q

Έτσι πολλαπλασίασε και τους δύο όρους της εξίσωσης με το q

and squared both sides.

και ύψωσε και τους δύο στο τετράγωνο.

which gave him this equation.

ώστε να προκύψει αυτή η εξίσωση.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Πολλαπλασιάζοντας ένα αριθμό με το 2 το αποτέλεσμα είναι άρτιος αριθμός,

so p^2 had to be even.

επομένως το p^2 έπρεπε να είναι άρτιος.

That couldn't be true if p was odd

Αυτό δεν θα συνέβαινε αν το p ήταν περιττός

because an odd number times itself is always odd,

διότι ένας περιττός επί τον εαυτό του είναι πάντα περιττός,

so p was even as well.

επομένως το p ήταν επίσης άρτιος.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Άρα, το p θα μπορούσε να εκφραστεί ως 2a, όπου a είναι ένας ακέραιος.

Substituting this into the equation and simplifying

Αντικαθιστώντας αυτό στην εξίσωση και απλοποιώντας

gave q^2 = 2a^2

προκύπτει q^2 = 2a^2

Once again, two times any number produces an even number,

Και πάλι, δύο επί οποιονδήποτε αριθμό παράγει έναν άρτιο αριθμό,

so q^2 must have been even,

έτσι το q^2 θα έπρεπε να είναι άρτιος,

and q must have been even as well,

και το q θα έπρεπε να είναι επίσης άρτιος,

making both p and q even.

κάνοντας και το p και το q άρτιους.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Αν, όμως, συνέβαινε αυτό, τότε αυτοί θα είχαν κοινό παράγοντα το 2,

which contradicted the initial statement,

το οποίο ήταν αντίθετο με την αρχική υπόθεση,

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

και έτσι ο Ίππασος συμπέρανε ότι δεν υπάρχει κανένας τέτοιος λόγος.

That's called a proof by contradiction,

Αυτό λέγεται απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο,

and according to the legend,

και σύμφωνα με τον μύθο,

the gods did not appreciate being contradicted.

στους θεούς δεν άρεσαν απόψεις αντίθετες με τις δικές τους.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Είναι ενδιαφέρον ότι, ακόμη κι αν δεν μπορούμε να εκφράσουμε

as ratios of integers,

τους άρρητους αριθμούς ως λόγους ακεραίων,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

είναι πιθανό να σχεδιάσουμε κάποιους από αυτούς με ακρίβεια στην αριθμογραμμή.

Take root 2.

Έστω η ρίζα 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Αυτό που πρέπει να κάνουμε είναι να σχηματίσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο

με δύο κάθετες πλευρές μήκους μίας μονάδας.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

Το μήκος της υποτείνουσας είναι ρίζα 2, που μπορεί να εκταθεί στη γραμμή.

We can then form another right triangle

Έπειτα, μπορούμε να σχηματίσουμε ένα άλλο ορθογώνιο τρίγωνο

with a base of that length and a one unit height,

με βάση αυτό το μήκος και ύψος μία μονάδα,

and its hypotenuse would equal root three,

και η υποτείνουσά του θα ήταν ίση με ρίζα 3,

which can be extended along the line, as well.

που μπορεί επίσης να εκταθεί στη γραμμή.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

Το κλειδί εδώ είναι ότι οι δεκαδικοί και οι λόγοι είναι μόνο

τρόποι έκφρασης αριθμών.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

Η ρίζα 2 είναι απλά η υποτείνουσα ενός ορθογωνίου τριγώνου

with sides of a length one.

με πλευρές μήκους ένα.

Similarly, the famous irrational number pi

Παρόμοια ο φημισμένος άρρητος αριθμός π

is always equal to exactly what it represents,

είναι πάντα ακριβώς ίσος με αυτό που παριστάνει,

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

το λόγο δηλαδή του μήκους ενός κύκλου προς τη διάμετρό του.

Approximations like 22/7,

Προσεγγίσεις όπως 22/7,

or 355/113 will never precisely equal pi.

ή 355/113 δεν θα είναι ποτέ ακριβώς ίσες με το π.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Δε θα μάθουμε ποτέ τι πραγματικά συνέβη στον Ίππασο,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

αυτό όμως που ξέρουμε είναι ότι η ανακάλυψή του

ήταν επανάσταση στα μαθηματικά.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Έτσι, ανεξάρτητα από ό,τι λένε οι μύθοι, να μη φοβάσαι να διερευνάς το αδύνατο.