Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

무리수의 이해

번역: Won Jang 검토: Jihyeon J. Kim

Like many heroes of Greek myths,

그리스 신화의 많은 영웅들처럼

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

철학자 히파수스는 신들에게 천벌을 받았다는 소문이 돌았습니다.

But what was his crime?

그런데 그의 죄목은 무엇이었을까요?

Did he murder guests,

그가 사람을 죽였을까요?

or disrupt a sacred ritual?

아니면 신성한 의식을 방해했을까요?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

아니오, 그의 죄목은 '무리수의 발견'이라는 수학적 증명이었습니다.

the discovery of irrational numbers.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

히파수스는 피타고라스학파라고 불리는

who had a religious reverence for numbers.

숫자들을 숭배하는 그룹에 속해있었습니다.

Their dictum of, "All is number,"

"만물은 수이다"라는 그들의 믿음에 따르면

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

숫자들이 우주의 만물을 구성하는 요소였습니다.

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

그들은 우주론이나 형이상학에서부터 음악이나 윤리적인 모든 것들이

to music and morals followed eternal rules

숫자들의 비율로 표현 될 수 있는 불변의 규칙을 따른다고 믿었습니다.

describable as ratios of numbers.

Thus, any number could be written as such a ratio.

따라서 모든 수들은 분수로 쓰여질 수 있다고 믿었으며

5 as 5/1,

5는 5/1

0.5 as 1/2

0.5는 1/2

and so on.

등으로 쓸 수 있고

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

심지어 이런 무한소수도 34/45로 정확하게 표현하였습니다.

All of these are what we now call rational numbers.

이런 수들은 현재 우리가 유리수라고 부르는 것들이지요.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

하지만 히파수스는 이런 조화로운 규칙을 위반하는 하나의 수를 발견했습니다.

one that was not supposed to exist.

존재해서는 안되는 수였지요.

The problem began with a simple shape,

문제는 한 변의 길이가 각각 1인 단순한 정사각형에서 시작했습니다.

a square with each side measuring one unit.

피타고라스 정리에 따르면

According to Pythagoras Theorem,

the diagonal length would be square root of two,

이 도형의 대각선의 길이는 루트 2일 것입니다.

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

그런데 히파수스는 아무리노력해도

그 수를 정수의 비로 나타낼 수 없었습니다.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

하지만 그는 여기서 포기하지 않고

이것이 불가능하다는 것을 증명하려고했습니다.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

히파수스는 피타고라스학파의 세계관이 옳다는것과

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

따라서 루트2도 두 정수의 분수로 표현될 수 있다는 가정으로 시작했습니다.

He labeled these hypothetical integers p and q.

그는 이 임의의 정수를 각 각 p와 q로 표현했습니다.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

이 분수가 가장 간단한 형태로 약분된다고 가정하면

p and q could not have any common factors.

p와 q는 공약수를 가지지 않습니다.

To prove that root 2 was not rational,

루트2를 비율로 나타낼 수 없다는 것을 증명하기 위해서는

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

이런 p와 q가 존재하지 않음을 증명하면 되었지요.

So he multiplied both sides of the equation by q

그래서 그는 등식의 양변에 q를 곱하고

and squared both sides.

그 양변을 제곱했습니다.

which gave him this equation.

그러면 이런 등식이나오지요.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

어떤 수를 2로 곱하면 그 결과는 짝수가 되므로

so p^2 had to be even.

p의 제곱도 짝수여야만 했습니다.

That couldn't be true if p was odd

p가 홀수라면 이는 성립할 수 없는데

because an odd number times itself is always odd,

홀수의 제곱은 항상 홀수이기 때문입니다.

so p was even as well.

따라서 p역시 짝수가 되어야 했습니다.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

그러므로 p는 정수 a를 이용해서 2a라고 표현 할 수 있었고

Substituting this into the equation and simplifying

방정식에 이것을 대입하고 약분하면

gave q^2 = 2a^2

q^2=2a^2라는 식이 나왔습니다.

Once again, two times any number produces an even number,

이번에도, 어떤 숫자를 2로 곱하면 짝수가 되므로

so q^2 must have been even,

q의 제곱은 반드시 짝수여야 하고

and q must have been even as well,

따라서 q역시 짝수여야만 했습니다.

making both p and q even.

결국 p와 q 둘 다 짝수가 되어야 했지요.

But if that was true, then they had a common factor of two,

하지만 그것이 참이라면 이들은 2라는 공약수를 갖게 되고

which contradicted the initial statement,

최초의 가정과 모순이 되었습니다.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

그리고 히파수스는 바로 이런 과정을 통해서

이런 비가 존재하지 않는 다는 결론을 내렸습니다.

That's called a proof by contradiction,

이런 방법을 모순증명법이라고 부르지요.

and according to the legend,

그리고 전설에 따르면

the gods did not appreciate being contradicted.

신들은 이런 모순의 증명을 달가워하지 않았다고 합니다.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

흥미롭게도, 비록 무리수를 정수의 비로 표현할 수는 없지만

as ratios of integers,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

이들을 수직선 위에 정확하게 표현하는 것은 가능합니다.

Take root 2.

루트 2를 예로 둘어봅시다.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

두 변의 길이가 1인 직각삼각형을 만들어 보면

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

빗변의 길이는 루트 2가 되는데

이 값은 이렇게 수직선에 나타낼 수 있지요.

We can then form another right triangle

여기서 다시 밑변의 길이가 루트 2이며

with a base of that length and a one unit height,

높이가 1인 또 다른 직각삼각형을 그리면

and its hypotenuse would equal root three,

이 삼각형의 빗변의 길이는 루트 3이 되며

which can be extended along the line, as well.

이 값도 이렇게 수직선에 나타낼 수 있겠지요.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

이를 통해 알 수 있는 것은

소수와 분수가 수를 표현하는 방법 중 일부라는 것입니다.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

루트 2는 각변의 길이가 1인 직삼각형의 빗변의 길이입니다.

with sides of a length one.

Similarly, the famous irrational number pi

비슷하게, 잘알려진 무리수인 파이는

is always equal to exactly what it represents,

그것이 나타내는 정확한 값인 원주에 대한 지름의 비와 일치합니다.

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

Approximations like 22/7,

근사값인 22/7이나

or 355/113 will never precisely equal pi.

355/113도 파이값과 정확히 일치하지는 않습니다.

We'll never know what really happened to Hippasus,

히파수스에게 진짜 무슨 일이 일어났는 지는 알 수 없지만

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

그의 발견이 수학에 혁신을 일으켰다는 것은 알고있습니다.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

그러니 여러분도 겁먹지 말고 불가능해 보이는 것을 시도해 보세요.