Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Compreendendo os números irracionais - Ganesh Pai

Tradutor: Leonardo Silva Revisor: Ruy Lopes Pereira

Like many heroes of Greek myths,

Como muitos heróis dos mitos gregos,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

dizia-se que o filósofo Hípaso de Metaponto

fora mortalmente punido pelos deuses.

But what was his crime?

Que crime ele cometeu, afinal?

Did he murder guests,

Será que matou convidados?

or disrupt a sacred ritual?

Ou atrapalhou um ritual sagrado?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Não, a transgressão de Hípaso foi uma prova matemática:

the discovery of irrational numbers.

a descoberta dos números irracionais.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hípaso pertencia a um grupo chamado matemáticos pitagóricos,

who had a religious reverence for numbers.

os quais tinham uma reverência religiosa por números.

Their dictum of, "All is number,"

A frase deles, "tudo se resume a números",

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

sugeria que os números eram os blocos de construção do universo.

Parte dessa crença era que tudo,

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

da cosmologia e da metafísica à música e à moralidade,

to music and morals followed eternal rules

seguia regras eternas

describable as ratios of numbers.

que podiam ser descritas como a razão entre dois números inteiros.

Assim, qualquer número poderia ser escrito como uma fração:

Thus, any number could be written as such a ratio.

5 as 5/1,

5 como 5/1,

0.5 as 1/2

0,5 como 1/2

e assim por diante.

and so on.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Até um decimal infinito como este poderia ser expresso exatamente como 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Todos esses são o que hoje chamamos de números racionais.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Hípaso, porém, encontrou um número que violava essa regra harmoniosa,

um número que não deveria existir.

one that was not supposed to exist.

The problem began with a simple shape,

O problema começou com uma forma simples,

a square with each side measuring one unit.

um quadrado em que cada lado mede uma unidade.

Segundo o Teorema de Pitágoras,

According to Pythagoras Theorem,

the diagonal length would be square root of two,

o comprimento da hipotenusa seria a raiz quadrada de 2.

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

Infelizmente,

Hípaso não conseguiu expressar isso como uma fração com números inteiros,

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

mas, em vez de desistir, ele decidiu provar que era impossível.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hípaso começou supondo que a visão de mundo pitagórica era verdadeira,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

que a raiz de 2 poderia ser expressa como uma razão entre dois inteiros.

Ele chamou esses inteiros hipotéticos de p e q.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Considerando que a fração fosse reduzida à sua forma mais simples,

p and q could not have any common factors.

p e q não poderiam ter quaisquer fatores comuns.

To prove that root 2 was not rational,

Para provar que a raiz de 2 não era racional,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hípaso tinha apenas que provar que p/q não podia existir.

Então, ele multiplicou ambos os membros da equação por q

So he multiplied both sides of the equation by q

and squared both sides.

e elevou ambos os lados ao quadrado, o que resultou nesta equação.

which gave him this equation.

Multiplicar qualquer número por 2 resulta em um número par.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

so p^2 had to be even.

Sendo assim, p^2 tinha que ser par.

Isso não poderia ser verdadeiro se p fosse ímpar

That couldn't be true if p was odd

because an odd number times itself is always odd,

porque um número ímpar vezes ele mesmo sempre dá ímpar.

Então, p também era par.

so p was even as well.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Assim, p poderia ser expresso como 2a, onde a é um número inteiro.

Substituindo isso na equação e simplificando-a,

Substituting this into the equation and simplifying

temos q^2 = 2a^2.

gave q^2 = 2a^2

Mais uma vez, 2 vezes qualquer número resulta em um número par.

Once again, two times any number produces an even number,

Então, q^2 só pode ser par e q também só pode ser par;

so q^2 must have been even,

and q must have been even as well,

ou seja, p e q são pares.

making both p and q even.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Se isso fosse verdadeiro, porém, eles teriam um fator comum 2,

which contradicted the initial statement,

o que contradiria a afirmação inicial,

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

e foi assim que Hípaso concluiu que tal fração não existe.

That's called a proof by contradiction,

É o que chamamos de prova por contradição

and according to the legend,

e, segundo a lenda,

os deuses não gostaram de ser contestados.

the gods did not appreciate being contradicted.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

O interessante é que, embora não possamos expressar números irracionais

as ratios of integers,

como frações de números inteiros,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

é possível localizar alguns dele num eixo numérico ou reta orientada.

Take root 2.

Vejamos a raiz de 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Basta formarmos um triângulo retângulo em que dois dos lados meçam uma unidade.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

A hipotenusa mede raiz de 2, e pode ser projetada sobre o eixo.

We can then form another right triangle

Podemos então formar outro triângulo retângulo

com uma base de mesmo comprimento e com altura medindo uma unidade,

with a base of that length and a one unit height,

and its hypotenuse would equal root three,

e sua hipotenusa seria igual à raiz de 3, a qual também pode projetada sobre o eixo.

which can be extended along the line, as well.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

A questão aqui é que decimais e frações são apenas formas de expressar números.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

A raiz de 2 é simplesmente a hipotenusa de um triângulo retângulo

with sides of a length one.

que tem lados medindo uma unidade cada.

Similarly, the famous irrational number pi

Da mesma forma, o famoso número irracional pi

is always equal to exactly what it represents,

é sempre igual a exatamente o que ele representa:

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro.

Approximations like 22/7,

Aproximações como 22/7,

or 355/113 will never precisely equal pi.

ou 355/113,

jamais serão precisamente iguais a pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Nunca saberemos o que realmente aconteceu com Hípaso,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

mas o que sabemos é que a descoberta que ele fez revolucionou a matemática.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Então, seja o que for que os mitos digam, não tenha medo de tentar o impossível.