Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Traducteur: Claire Ghyselen Relecteur: Morgane Quilfen

Like many heroes of Greek myths,

Comme de nombreux héros de la mythologie grecque,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

on dit du philosophe Hippase

que les dieux l'ont puni jusqu'à ce que mort s'ensuive.

But what was his crime?

Quel était son crime exactement ?

Did he murder guests,

A-t-il commis un meurtre ?

or disrupt a sacred ritual?

Ou a-t-il interrompu un rite sacré ?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

En fait, la transgression d'Hippase est une démonstration mathématique :

the discovery of irrational numbers.

la découverte des nombres irrationnels.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hippase fait partie des mathématiciens pythagoriciens

who had a religious reverence for numbers.

qui vénéraient les nombres de manière religieuse.

Their dictum of, "All is number,"

Leur mantra, « tout est nombre »,

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

suggère que les nombres sont les briques dont est construit l'univers.

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

Cette croyance émane partiellement du fait

que tout, de la cosmologie et la métaphysique,

to music and morals followed eternal rules

à la musique et la morale, se comporte selon des lois éternelles

describable as ratios of numbers.

qui peuvent être décrites par des rapports de nombres.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Il en découle que n'importe quel nombre peut être écrit en tant que rapport.

5 as 5/1,

5 en tant que 5/1,

0.5 as 1/2

0,5 en tant que 1/2,

and so on.

et ainsi de suite.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Même ce nombre avec une décimale infinie peut être exprimé par 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Tous ces nombres font partie des nombres rationnels.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Mais Hippase a découvert un nombre qui viole cette règle harmonieuse.

one that was not supposed to exist.

Un nombre qui ne devrait pas exister.

The problem began with a simple shape,

Le problème commence avec une forme simple,

a square with each side measuring one unit.

un carré dont chaque côté mesure une unité.

According to Pythagoras Theorem,

Selon le théorème de Pythagore,

the diagonal length would be square root of two,

la longueur de la diagonale égale la racine carrée de deux.

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

En dépit de ses efforts,

Hippase n'a pas pu exprimer ça sous un rapport de deux nombres entiers.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Au lieu d'abandonner, il a décidé de démontrer que ce n'était pas possible.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hippase a émis l'hypothèse que la vision pythagoricienne était correcte,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

et que la racine carrée de 2 pouvait être exprimée

par un rapport entre deux nombres entiers hypothétiques qu'il nomma p et q.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Si le rapport peut être exprimé sous sa forme la plus simple,

p and q could not have any common factors.

p et q ne peuvent pas avoir de facteurs communs.

To prove that root 2 was not rational,

Pour démontrer que la racine carrée de 2 n'est pas rationnelle,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hippase devait démontrer que p/q ne peut pas exister.

So he multiplied both sides of the equation by q

Il a donc multiplié les deux parties de l'équation par q,

and squared both sides.

et les a élevées au carré.

which gave him this equation.

Le résultat est cette équation.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

En multipliant un nombre par deux, on obtient toujours un nombre pair.

so p^2 had to be even.

Par conséquent, le carré de p doit être pair.

That couldn't be true if p was odd

Si p est impair, ceci n'est pas correct,

because an odd number times itself is always odd,

parce qu'un nombre impair

multiplié par lui-même est toujours impair.

so p was even as well.

Donc, p doit être pair.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Par conséquent, p peut être exprimé comme 2a, a étant un nombre entier.

Substituting this into the equation and simplifying

En remplaçant p par 2a dans l'équation, et en la simplifiant,

gave q^2 = 2a^2

on obtient : q² = 2a².

Once again, two times any number produces an even number,

A nouveau, deux fois un nombre pair résulte en un nombre pair,

so q^2 must have been even,

donc, q carré doit être pair,

and q must have been even as well,

et p carré doit être pair aussi.

making both p and q even.

Par conséquent, p et q sont des nombres pairs.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Mais si cela est correct, ils doivent partager un facteur commun : 2.

which contradicted the initial statement,

Ceci contredit l'hypothèse de base.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

Voilà comment Hippase a conclu que ce rapport ne pouvait pas exister.

That's called a proof by contradiction,

Ça s'appelle une démonstration par l'absurde.

and according to the legend,

Selon la légende,

the gods did not appreciate being contradicted.

les dieux n'ont pas apprécié qu'on les contredise.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

C'est amusant de savoir que, même si on ne peut pas exprimer

as ratios of integers,

des nombres irrationnels sous forme de rapport de nombres entiers,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

il est possible de déterminer leur position sur une ligne de nombres.

Take root 2.

Prenons la racine carrée de 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Il nous suffit de dessiner un triangle rectangle

dont les deux côtés mesurent une unité.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

L'hypoténuse a une longueur égale à la racine carrée de 2,

que l'on étire vers la ligne.

We can then form another right triangle

On peut alors former un autre triangle rectangle

with a base of that length and a one unit height,

avec une base égale à cette longueur, et une hauteur d'une unité.

and its hypotenuse would equal root three,

L'hypoténuse égale la racine carrée de 3,

which can be extended along the line, as well.

que nous pouvons étirer sur la ligne.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

L'astuce réside dans le fait

qu'on exprime les nombres avec des décimales et des rapports.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

La racine carrée de deux est l'hypoténuse d'un triangle rectangle,

with sides of a length one.

dont la longueur des côtés est un.

Similarly, the famous irrational number pi

De même, le nombre irrationnel pi, très connu,

is always equal to exactly what it represents,

est toujours égal à ce qu'il représente,

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

le rapport de la circonférence d'un cercle avec son diamètre.

Approximations like 22/7,

Des approximations comme 22/7,

or 355/113 will never precisely equal pi.

ou 355/113 ne seront jamais égales à pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Nous ne saurons jamais quelle fut la fin d'Hippase,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

mais ce dont on est sûr,

c'est que sa découverte a révolutionné les mathématiques.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Les mythes ne doivent jamais nous dissuader d'explorer l'impossible.