Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

תרגום: Ido Dekkers עריכה: Roni Ravia

Like many heroes of Greek myths,

כמו גיבורים רבים מהמיתולוגיה היוונית

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

מאמינים שהפיסולוף היווני היפסוס נענש בעונש מוות על ידי האלים.

But what was his crime?

אבל מה היה הפשע שלו?

Did he murder guests,

האם הוא רצח,

or disrupt a sacred ritual?

או הפריע לטקס קדוש?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

לא, הפשע של היפסוס היה הוכחה מתמטית:

the discovery of irrational numbers.

הגילוי של מספרים לא רציונלים.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

היפסוס היה שייך לקבוצה שנקראה המתמטיקאים הפיתגוראים

who had a religious reverence for numbers.

שהיתה להם הערצה למספרים.

Their dictum of, "All is number,"

הצהרתם: "הכל זה מספר"

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

רמזה שהמספרים היו אבני היסוד של היקום

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

וחלק מהאמונה הזו היתה שהכל, החל מקוסמולוגיה ומטאפיזיקה

to music and morals followed eternal rules

וכלה במוזיקה ומורל נהגו על פי חוקים נצחיים

describable as ratios of numbers.

המתוארים כיחס בין מספרים.

Thus, any number could be written as such a ratio.

לפי זאת, כל מספר היה יכול להכתב כיחס בין מספרים.

5 as 5/1,

5 כ- 5/1.

0.5 as 1/2

0.5 כ- 1/2

and so on.

וכך הלאה.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

אפילו מספרים עשרוניים אינסופיים מעין זה יכולים להיות מובעים כ- 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

כל אלה קרויים כיום מספרים רציונליים.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

אבל היפסוס מצא מספר אחד שהפר את החוק ההרמוני הזה,

one that was not supposed to exist.

מספר שלא היה אמור להיות קיים.

The problem began with a simple shape,

הבעיה התחילה עם צורה פשוטה,

a square with each side measuring one unit.

מרובע שאורך כל אחת מצלעותיו הוא 1.

According to Pythagoras Theorem,

לפי משפט פיתגורס,

the diagonal length would be square root of two,

אורך האלכסון הוא שורש ריבועי של 2,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

אבל ככל שניסה, היפסוס לא היה יכול להביע אותו כיחס בין שני מספרים שלמים.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

ובמקום לוותר, הוא החליט להוכיח שזה בלתי אפשרי.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

היפסוס פתח בהנחה שהשקפת העולם הפיתגוראית הייתה נכונה -

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

שניתן להביע שורש ריבועי של 2 כיחס בין שני מספרים שלמים.

He labeled these hypothetical integers p and q.

הוא סימן את שני המספרים ההיפותטיים האלה כ-p ו-q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

בהנחה שהיחס צומצם לצורתו הפשוטה ביותר,

p and q could not have any common factors.

ל-p ו-q לא יכולים להיות גורמים משותפים.

To prove that root 2 was not rational,

כדי להוכיח ששורש 2 אינו מספר רציונלי,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

היפסוס רק היה צריך להוכיח ש-p/q לא יכול להתקיים.

So he multiplied both sides of the equation by q

אז הוא הכפיל את שני הצדדים של המשוואה ב-q

and squared both sides.

והעלה בריבוע את שני הצדדים.

which gave him this equation.

מה שנתן לו את המשוואה הזו.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

מכפלת כל מספר שהוא פי 2 נותנת מספר זוגי,

so p^2 had to be even.

אז p בריבוע חייב להיות זוגי.

That couldn't be true if p was odd

זה לא יכול להיות נכון אם p הוא אי זוגי

because an odd number times itself is always odd,

בגלל שמכפלת מספר אי זוגי בעצמו נותנת תמיד מספר אי זוגי,

so p was even as well.

אז גם p חייב להיות זוגי.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

לכן, p יכול להיות מובע כ 2a כש-a הוא מספר שלם.

Substituting this into the equation and simplifying

אם מכניסים זאת למשוואה ומפשטים

gave q^2 = 2a^2

נקבל q^2 = 2a^2

Once again, two times any number produces an even number,

שוב, 2 כפול כל מספר שהוא נותן מספר זוגי,

so q^2 must have been even,

אז q^2 חייב להיות זוגי,

and q must have been even as well,

ו-q חייב להיות גם הוא זוגי,

making both p and q even.

מה שהופך גם את p וגם את q לזוגיים.

But if that was true, then they had a common factor of two,

אבל אם זה נכון, אז יש להם גורם משותף - 2,

which contradicted the initial statement,

מה שסותר את ההנחה הראשונית,

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

וכך היפסוס קבע שיחס כזה לא קיים.

That's called a proof by contradiction,

זה נקרא הוכחה על ידי שלילה,

and according to the legend,

ולפי האגדה,

the gods did not appreciate being contradicted.

האלים לא קיבלו בברכה את סתירת דבריהם.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

מעניין, שלמרות שאיננו יכולים להביע מספרים לא רציונליים

as ratios of integers,

כיחס של שני מספרים שלמים,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

עדיין ניתן למקם כמה מהם במדוייק על ציר המספרים.

Take root 2.

קחו את שורש 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

כל שצריך לעשות זה ליצור משולש ישר זוית עם שתי צלעות שאורכן יחידה אחת.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

ליתר יש אורך של שורש 2, וניתן למקמו לאורך הציר.

We can then form another right triangle

בהמשך ניתן ליצור משולש ישר זוית נוסף

with a base of that length and a one unit height,

עם בסיס באורך כזה וגובה של יחידה אחת,

and its hypotenuse would equal root three,

והיתר שלו יהיה שווה לשורש שלוש,

which can be extended along the line, as well.

שניתן גם אותו למקם על הציר.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

מה שחשוב הוא שמספרים עשרוניים ושברים הם רק דרכים להבעת מספרים.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

שורש 2 הוא פשוט היתר של משולש ישר זוית

with sides of a length one.

שאורך שתיים מצלעותיו 1.

Similarly, the famous irrational number pi

בדומה, המספר הלא רציונלי המפורסם פיי

is always equal to exactly what it represents,

תמיד שווה בדיוק למה שהוא מייצג,

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

היחס בין היקף מעגל לקוטרו.

Approximations like 22/7,

קירובים כמו 22/7

or 355/113 will never precisely equal pi.

או 355/113, אף פעם לא יהיו שווים בדיוק לפיי.

We'll never know what really happened to Hippasus,

לעולם לא נדע מה באמת קרה להיפסוס,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

אבל מה שכן יודעים זה שהגילוי שלו שינה לגמרי את פני המתמטיקה.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

אז לא משנה מה היא האמונה הרווחת, אל תפחדו לחקור את הבלתי אפשרי.