Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Ý nghĩa của các con số vô tỉ - Ganesh Pai

Translator: Trinh Le Reviewer: Thế Anh Vũ Lê

Like many heroes of Greek myths,

Giống như nhiều anh hùng trong thần thoại Hy Lạp,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

nhà hiền triết Hippasus được đồn rằng

đã bị trừng phạt đến chết bởi các vị thần.

But what was his crime?

Nhưng tội lỗi của ông là gì?

Did he murder guests,

Có phải ông đã giết người,

or disrupt a sacred ritual?

hay mạo phạm một nghi lễ thiêng liêng?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Không, tội của Hippasus là một chứng minh toán học:

the discovery of irrational numbers.

sự khám phá ra số vô tỉ.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hippasus nằm trong một nhóm gọi là các nhà toán học Pythagore

who had a religious reverence for numbers.

những người có sự tôn kính tôn giáo dành cho các con số.

Their dictum of, "All is number,"

Châm ngôn của họ, "Tất cả là số",

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

nói rằng các con số là những viên gạch xây dựng Vũ trụ

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

và cho rằng tất cả mọi thứ từ vũ trụ học và siêu hình học

to music and morals followed eternal rules

đến âm nhạc và đạo đức đều đi theo các quy tắc vĩnh cửu

describable as ratios of numbers.

được gọi là tỉ số.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Vì vậy, bất cứ con số nào đều có thể viết thành một tỉ lệ.

5 as 5/1,

5 thành 5/1,

0.5 as 1/2

0.5 thành 1/2

và cứ như thế.

and so on.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Ngay cả số thập phân kéo dài vô hạn này có thể được viết chính xác là 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Tất cả những số này ngày nay chúng ta gọi là số hữu tỉ.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Nhưng Hippasus tìm ra một con số vi phạm nguyên tắc hài hoà này,

one that was not supposed to exist.

con số đã từng không được phép tồn tại.

The problem began with a simple shape,

Vấn đề bắt đầu với một hình đơn giản,

a square with each side measuring one unit.

hình vuông với mỗi cạnh tương ứng một đơn vị.

According to Pythagoras Theorem,

Theo định lý Pythagore,

the diagonal length would be square root of two,

độ dài đường chéo sẽ là căn bậc hai của 2,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

nhưng cố gắng hết sức, Hippasus không thể

biểu diễn nó bằng tỉ lệ của hai số nguyên.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Thay vì từ bỏ, ông quyết định sẽ chứng minh điều này là không thể.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hippasus bắt đầu bằng giả sử rằng suy nghĩ của các nhà toán học Pythagore là đúng,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

rằng căn bậc hai của 2 có thể diễn tả thành tỉ số của hai số nguyên.

Gọi hai số nguyên giả định này là p và q.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Giả sử tỉ lệ này đã được rút gọn đến thể tối giản,

p and q could not have any common factors.

tức p và q không thể có ước số chung khác 1.

To prove that root 2 was not rational,

Để chứng minh rằng căn 2 không phải số hữu tỉ,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hippasus chỉ cần chứng minh rằng p/q không thể tồn tại.

So he multiplied both sides of the equation by q

Vì vậy, ông nhân cả hai vế của phương trình với q

and squared both sides.

và bình phương hai vế,

which gave him this equation.

kết quả cho ông phương trình này.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Một số bất kỳ nhân 2 cho ra một số chẵn,

so p^2 had to be even.

nên p^2 phải là số chẵn.

That couldn't be true if p was odd

Điều này là không thể nếu p là số lẻ

because an odd number times itself is always odd,

bởi vì số lẻ nhân với chính nó luôn luôn cho số lẻ,

so p was even as well.

vậy nên p cũng là số chẵn.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Vì vây, p có thể được biểu diễn bằng 2a, trong đó a là một số nguyên.

Substituting this into the equation and simplifying

Thay vào phương trình và tối giản

gave q^2 = 2a^2

ta có q² = 2a².

Once again, two times any number produces an even number,

Tương tự, hai lần một số bất kỳ cho ta một số chẵn,

so q^2 must have been even,

nên q² phải là số chẵn,

and q must have been even as well,

và q cũng phải là số chẵn,

making both p and q even.

vậy cả p và q là số chẵn.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Nhưng nếu điều này đúng, thì chúng có ước chung là 2,

which contradicted the initial statement,

điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu,

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

và đó là cách Hippasus kết luận rằng không có tỉ số như vậy tồn tại.

That's called a proof by contradiction,

Đó gọi là chứng minh bằng phản chứng,

and according to the legend,

và theo như truyền thuyết,

the gods did not appreciate being contradicted.

các vị thần không đánh giá cao việc bị phản chứng.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Điều thú vị là, mặc dù chúng ta không thể biểu diễn số vô tỉ

as ratios of integers,

bằng tỉ lệ của các số nguyên,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

Ta có thể biểu thị chính xác một số trong số chúng trên trục số.

Take root 2.

Lấy căn bậc hai của 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Những gì ta cần là tạo tam giác vuông có mỗi cạnh góc vuông tương ứng một đơn vị.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

Cạnh huyền có chiều dài là căn 2, có thể được biểu diễn trên trục thế này.

We can then form another right triangle

Ta có thể tạo một góc vuông nữa

with a base of that length and a one unit height,

với đáy là chiều dài đó và một đơn vị chiều cao,

and its hypotenuse would equal root three,

và cạnh huyền của nó bằng căn bậc hai của 3,

which can be extended along the line, as well.

cũng có thể được biểu diễn trên trục thế này.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

Chìa khoá ở đây là số thập phân và tỉ lệ

chỉ là những cách để diễn tả các con số.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

Căn bậc hai của 2 đơn giản là cạnh huyền của một tam giác vuông

with sides of a length one.

với hai cạnh bên có chiều dài một.

Similarly, the famous irrational number pi

Tương tự, số vô tỉ nổi tiếng pi

is always equal to exactly what it represents,

luôn luôn bằng chính xác cái mà nó đại diện,

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

tỉ lệ của chu vi một đường tròn bất kì với đường kính của nó.

Approximations like 22/7,

Xấp xỉ 22/7,

or 355/113 will never precisely equal pi.

hay 335/113

sẽ không bao giờ bằng chính xác pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Chúng ta sẽ không bao giờ biết điều gì thực sự xảy ra với Hippasus,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

nhưng chúng ta biết rằng

khám phá của ông là một cuộc cách mạng toán học.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Vậy nên, dù thần thoại nói thế nào đi nữa,

thì cũng đừng sợ hãi khám phá những điều không thể.