Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

翻訳: Shuichi Sakai 校正: Takamitsu Hirono

Like many heroes of Greek myths,

ギリシャ神話の多くの英雄と同じように

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

哲学者ヒッパソスは神々の手により 死をもって罰せられたと噂されていました

But what was his crime?

彼の罪は何だったのでしょう？

Did he murder guests,

来賓の殺害？

or disrupt a sacred ritual?

それとも神聖な儀式の妨害？

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

いいえ　ヒッパソスの罪とは ある数学の証明でした

the discovery of irrational numbers.

無理数の発見です

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

ヒッパソスは ピタゴラス学派とよばれる 数学者の結社に属し

who had a religious reverence for numbers.

この結社は数字を宗教的に崇拝していました

Their dictum of, "All is number,"

彼らの教義である「万物は数である」は

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

数こそが世界を構成する 基本的要素であるとしていました

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

この信仰によると この世の全て― 宇宙から 形而上学

to music and morals followed eternal rules

音楽 そして倫理までもが 数比として表せる

describable as ratios of numbers.

万古不変の法則に従います

Thus, any number could be written as such a ratio.

すなわちすべての数は そのような数比として表せます

5 as 5/1,

例えば5は5/1として

0.5 as 1/2

0.5は1/2として表せます

and so on.

0.5は1/2として表せます

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

このような永遠に繰り返す循環少数でさえ 34/35という数比で表現することができます

All of these are what we now call rational numbers.

これらはすべて 有理数とよばれる数です

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

しかしヒッパソスはこの調和的法則に 背く数をひとつ発見してしまいました

one that was not supposed to exist.

存在するはずがない数でした

The problem began with a simple shape,

問題は単純な図形からはじまりました

a square with each side measuring one unit.

各辺の長さが１単位の正方形です

According to Pythagoras Theorem,

ピタゴラスの定理によると

the diagonal length would be square root of two,

対角線の長さはルート２です

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

ヒッパソスがいくら試みてもこの数を ２つの整数の比で表現できませんでした

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

彼はここで諦めるかわりに これが無理であると証明することにしました

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

ヒッパソスは まずピタゴラス学派の世界観が 正しいと仮定しました

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

つまりルート２が２つの整数の比として 表すことができると仮定したのです

He labeled these hypothetical integers p and q.

仮定の整数をそれぞれpとqと名づけました

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

数比がもっとも単純な形に 約分されていると仮定すると

p and q could not have any common factors.

pとqには公約数がありません

To prove that root 2 was not rational,

ルート２が有理数ではないことを 証明するためには

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

ヒッパソスはp/qが存在し得ないことを 示せばよかったのです

So he multiplied both sides of the equation by q

そこで等式の両側にqを掛け

and squared both sides.

両側の２乗をとりました

which gave him this equation.

するとこの式が得られます

Multiplying any number by 2 results in an even number,

いかなる整数に２を掛けても偶数になるので

so p^2 had to be even.

pの２乗（p^2）は偶数でなくてはなりません

That couldn't be true if p was odd

pが奇数であれば これは不可能です

because an odd number times itself is always odd,

なぜならば同じ奇数を掛け合わせると 必ず奇数になるからです

so p was even as well.

ということは pもまた偶数ということになります

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

ならばaを整数として ｐは2aと表すことができます

Substituting this into the equation and simplifying

これを式に代入して整理すると

gave q^2 = 2a^2

q^2 = 2a^2となります

Once again, two times any number produces an even number,

先ほどと同じように ２にいかなる整数を掛けても偶数になるので

so q^2 must have been even,

q^2も偶数にちがいありません

and q must have been even as well,

そして同じ論理で qもまた偶数です

making both p and q even.

つまりpもqも偶数ということになります

But if that was true, then they had a common factor of two,

しかし これが真ならば pとqは公約数として２を持つので

which contradicted the initial statement,

最初の仮定条件と矛盾してしまいます

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

このようにヒッパソスは 条件を満たす比の不在を証明したのです

That's called a proof by contradiction,

これは背理法とよばれる証明方法です

and according to the legend,

伝説によると

the gods did not appreciate being contradicted.

神々は否定されたことに 腹を立てたそうです

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

興味深いことに 無理数は整数の比として

as ratios of integers,

表すことができませんが

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

数直線上に正確に 点を示すことができるものもあります

Take root 2.

例えばルート２

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

まず２辺の長さが１単位の 直角三角形を描きます

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

斜辺の長さはルート２なので 数直線上にこのように示せます

We can then form another right triangle

同様に底辺がルート２で

with a base of that length and a one unit height,

高さが１の直角三角形を描くと

and its hypotenuse would equal root three,

斜辺の長さはルート３です

which can be extended along the line, as well.

これも同様に数直線上に示せます

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

重要なのは小数や分数は 数を表す方法の１つに過ぎないということです

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

ルート２は底辺と高さが１の

with sides of a length one.

直角三角形の斜辺に過ぎません

Similarly, the famous irrational number pi

同様に 有名な無理数で知られる円周率は

is always equal to exactly what it represents,

文字通り 常に円周と直径の比です

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

文字通り 常に円周と直径の比です

Approximations like 22/7,

22/7や355/113などの近似値も 円周率に完全には一致しません

or 355/113 will never precisely equal pi.

22/7や355/113などの近似値も 円周率に完全には一致しません

We'll never know what really happened to Hippasus,

ヒッパソスの身に何が起きたかは 永遠の謎です

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

しかし彼の発見が数学を革新させたことは 間違いありません

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

神話を恐れず 不可能を探索する 勇気を持つことが大事ですね