Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

İrrasyonel sayıları anlamak - Ganesh Pai

Çeviri: Sevkan Uzel Gözden geçirme: Yunus ASIK

Like many heroes of Greek myths,

Yunan mitlerindeki pek çok kahraman gibi filozof Hippasus'un da

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

tanrılar tarafından cezalandırıldığını rivayet edilir.

But what was his crime?

Peki ama suçu neydi?

Did he murder guests,

Misafirleri mi öldürmüştü?

or disrupt a sacred ritual?

Yoksa kutsal bir ritüeli mi bölmüştü?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Hayır, Hippasus'un günahı matematiksel bir kanıttı:

the discovery of irrational numbers.

İrrasyonel sayıların keşfi.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hippasus, sayılara dinsel bir saygı besleyen

Pisagorcu matematikçiler adlı topluluğa üyeydi.

who had a religious reverence for numbers.

Their dictum of, "All is number,"

"Her şey sayıdır" şeklindeki vecizeleri,

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

evrenin yapıtaşlarının sayılar olduğunu ileri sürüyordu.

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

Evrenbilim ve metafizikten, müziğe ve ahlak kurallarına kadar her şeyin

to music and morals followed eternal rules

sayıların oranları ile tanımlanabilen

describable as ratios of numbers.

ebedi yasaları izlediği de inançları arasındaydı.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Dolayısıyla, her sayı böyle bir oran biçiminde yazılabilirdi.

5 as 5/1,

5'i 5/1 olarak,

0.5 as 1/2

0,5'i 1/2 olarak yazmak gibi.

and so on.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Bunun gibi sonsuza uzayan bir ondalık sayı bile

tam olarak 34/45 olarak ifade edilebilirdi.

All of these are what we now call rational numbers.

Bugün bunların tümüne rasyonel sayılar diyoruz.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Ama Hippasus bu ahenkli yasayı ihlal eden bir sayı bulmuştu;

one that was not supposed to exist.

var olmaması gereken bir sayı.

The problem began with a simple shape,

Sorun basit bir şekil ile başladı:

a square with each side measuring one unit.

Kenarları 1 birim olan bir kare.

Pisagor Teoremi'ne göre, köşegen uzunluğu 2'nin karekökü olmalıydı.

According to Pythagoras Theorem,

the diagonal length would be square root of two,

Fakat Hippasus ne kadar denese de,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

bunu iki tam sayının oranı biçiminde ifade edemedi.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Vazgeçmek yerine, bunun yapılamayacağını kanıtlamaya karar verdi.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hippasus, Pisagorcu dünya görüşünün doğru olduğunu varsayarak başladı:

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

Kök 2'yi iki tam sayının oranı şeklinde yazmak mümkün olsun.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Bu varsayımsal tamsayılara p ve q dedi.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Oranın en basit hâline indirgendiğini ve

p and q could not have any common factors.

p ile q'nun ortak çarpanı olmadığını varsaydı.

To prove that root 2 was not rational,

Kök 2'nin rasyonel olmadığını kanıtlamak için

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hippasus'un p/q'nun var olamayacağını kanıtlaması gerekiyordu.

So he multiplied both sides of the equation by q

Eşitliğin iki tarafını q ile çarpıp

and squared both sides.

iki tarafın karekökünü aldı

which gave him this equation.

ve bu eşitliği elde etti.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Bir sayıyı 2 ile çarpınca, sonuç çift sayı çıkar.

so p^2 had to be even.

O zaman p^2 çift sayı olmalıdır.

That couldn't be true if p was odd

Eğer p tek sayı ise bu doğru olamaz,

because an odd number times itself is always odd,

çünkü bir tek sayının kendisi ile çarpımı, yine bir tek sayı verir.

so p was even as well.

Bu nedenle p sayısı da çift sayı olmalıdır.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

O hâlde, a bir tamsayı olmak üzere, p'yi 2a olarak ifade edebiliriz.

Substituting this into the equation and simplifying

Denkleme bunu yerleştirip sadeleştirince,

gave q^2 = 2a^2

q^2 = 2a^2 çıkar.

Once again, two times any number produces an even number,

Yine, herhangi bir sayının 2 ile çarpımı çift sayı vereceğinden,

so q^2 must have been even,

q^2 çift sayı olmalıdır.

and q must have been even as well,

Dolayısıyla q sayısı da çift sayı olmalıdır.

making both p and q even.

Yani hem p, hem de q çift sayıdır.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Fakat eğer bu doğruysa, bir ortak çarpanları var demektir: 2 sayısı.

which contradicted the initial statement,

Ama bu da başlangıç ifadesine ters düşüyor.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

İşte böylelikle, Hippasus öyle bir oranın var olmadığı sonucuna ulaştı.

That's called a proof by contradiction,

Buna "olmayana ergi" ile kanıtlamak adı verilir

and according to the legend,

ve rivayete göre,

the gods did not appreciate being contradicted.

tanrılar böyle yadsınmaktan hiç hoşlanmaz.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

İşin ilginci, her ne kadar irrasyonel sayıları

as ratios of integers,

tam sayıların oranı olarak ifade edemesek de,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

bazılarını sayı doğrusunda çizerek gösterebiliriz.

Take root 2.

Kök 2'yi ele alalım.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Tek yapmamız gereken, iki kenarı 1 birim olan bir dik üçgen çizmek.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

Hipotenüsün uzunluğu kök 2 olur ve bu uzunluk eksene yatırılabilir.

We can then form another right triangle

Ardından tabanı bu uzunlukta olan ve

with a base of that length and a one unit height,

yüksekliği 1 birim olan diğer bir dik üçgen çizebiliriz.

and its hypotenuse would equal root three,

Bu üçgenin hipotenüsü de kök 3 olur

which can be extended along the line, as well.

ve uzunluk eksene yatırılabilir.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

Buradaki önemli nokta, ondalık sayıların ve oranların,

sayıları ifade etmenin tek yolu olması.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

Kök 2, kenarları 1 birim olan dik üçgenin hipotenüsüdür.

with sides of a length one.

Similarly, the famous irrational number pi

Benzer biçimde, ünlü irrasyonel sayı pi

is always equal to exactly what it represents,

her zaman temsil ettiği şeye eşittir tam olarak:

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

Bir çemberin çevresinin çapına oranı.

Approximations like 22/7,

22/7 veya 355/113 gibi yaklaştırmalar,

or 355/113 will never precisely equal pi.

hiçbir zaman pi'ye eşit olmaz.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Hippasus'a gerçekte ne olduğunu asla bilemeyeceğiz,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

ama bildiğimiz bir şey var ki, keşfi matematikte devrim yarattı.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

O yüzden mitler ne derse desin, olanaksızın peşine düşmekten çekinmeyin.