Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Értsük meg az irracionális számokat!

Fordító: Péter Pallós Lektor: Maria Ruzsane Cseresnyes

Like many heroes of Greek myths,

Mint a görög legendák sok hőséről,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

Hippasos filozófusról is azt tartják, hogy az istenek halállal büntették.

But what was his crime?

De hát mi volt a bűne?

Did he murder guests,

Megölte a vendégeit,

or disrupt a sacred ritual?

vagy megzavarta a szent szertartást?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Nem, Hippasos vétke egy matematikai bizonyítás:

the discovery of irrational numbers.

az irracionális számok fölfedezése volt.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hippasos a püthagoreus matematikusok csoportjához tartozott,

who had a religious reverence for numbers.

akik vallásos hódolattal viseltettek a számok iránt.

Their dictum of, "All is number,"

Kijelentésük, hogy "Minden csak szám"

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

arra utalt, hogy a számok az Univerzum építőkövei,

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

és e hiedelem része, hogy a kozmológiától a metafizikáig

to music and morals followed eternal rules

és a zenéig meg az erkölcsig minden örök szabályokat követ,

describable as ratios of numbers.

amelyek számok hányadosaként írható le.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Így minden szám hányadosként írható le.

5 as 5/1,

Az 5 az 5/1 alakban,

0.5 as 1/2

a 0,5 az 1/2 alakban

and so on.

és így tovább.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Még a végtelen tizedestört, pl. ez, pontosan kifejezhető 34/45 alakban.

All of these are what we now call rational numbers.

Ezeket racionális számoknak hívjuk.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

De Hippasos talált egy számot, amely megsérti e harmonikus szabályt,

one that was not supposed to exist.

amelynek a létezését nem feltételezték.

The problem began with a simple shape,

Az ügy egy közönséges idommal,

a square with each side measuring one unit.

olyan négyzettel kezdődött, amelynek oldalai egységnyiek.

According to Pythagoras Theorem,

A Püthagorasz-tétel szerint

the diagonal length would be square root of two,

az átló hossza négyzetgyök kettő lesz,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

de Hippasos bárhogy is próbálkozott, nem tudta kifejezni két szám hányadosaként.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

De kitartó volt, és úgy döntött, hogy bebizonyítja: a feladat megoldhatatlan.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hippasos kezdetben föltételezte, hogy a püthagoraszi fölfogás igaz,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

miszerint a gyök kettő kifejezhető két szám hányadosaként.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Ezeket a föltételezett egész számokat p-nek és q-nak nevezte el.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Ha a hányadost teljesen egyszerűsítettük,

p and q could not have any common factors.

p-nek és q-nak nem lehet már közös tényezője.

To prove that root 2 was not rational,

Hogy bebizonyítsa a gyök kettőről, hogy nem racionális szám,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hippasosnak csupán azt kellett bizonyítania, hogy p/q nem létezhet.

So he multiplied both sides of the equation by q

Ezért az egyenlet mindkét oldalát megszorozta q-val,

and squared both sides.

és négyzetre is emelte.

which gave him this equation.

Ezt az egyenletet kapta.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Bármely számot kettővel megszorozva páros számot kapunk,

so p^2 had to be even.

ezért a p²-nek páros számnak kell lennie.

That couldn't be true if p was odd

De ez nem lehet igaz, ha p páratlan szám,

because an odd number times itself is always odd,

mert bármely páratlan szám önmagával szorozva mindig páratlant ad,

so p was even as well.

ezért p is páros szám.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Ezért p kifejezhető 2a-ként, ahol a egy egész szám.

Substituting this into the equation and simplifying

Ezt az egyenletbe behelyettesítve és egyszerűsítve

gave q^2 = 2a^2

az eredmény q² = 2a².

Once again, two times any number produces an even number,

Még egyszer: bármely szám kettővel szorozva mindig páros számot ad,

so q^2 must have been even,

ezért q²-nek párosnak kell lennie,

and q must have been even as well,

és q-nak is párosnak kell lennie,

making both p and q even.

így mind a q, mind a p páros szám.

But if that was true, then they had a common factor of two,

De ha ez igaz, akkor mindkettőben a 2 közös tényező,

which contradicted the initial statement,

ami ellentmond az eredeti állításnak.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

Hippasos így következtette ki, hogy nem létezik ilyen hányados.

That's called a proof by contradiction,

Ezt nevezik indirekt bizonyításnak.

and according to the legend,

A legenda szerint az istenek

the gods did not appreciate being contradicted.

nem tűrték, hogy ellentmondjanak nekik.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Érdekes, hogy bár az irracionális számok nem fejezhetők ki

as ratios of integers,

egész számok hányadosaként,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

de a számegyenesen némelyikük pontosan elhelyezhető.

Take root 2.

Nézzük például a gyök 2-t.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Rajzoljunk egy egységnyi befogójú derékszögű háromszöget.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

Az átfogója gyök 2 hosszúságú, amit rámérhetünk a számegyenesre.

We can then form another right triangle

Rajzolhatunk egy gyök 2 befogójú

with a base of that length and a one unit height,

és egy egységnyi befogójú derékszögű háromszöget;

and its hypotenuse would equal root three,

ennek az átfogója gyök 3 lesz.

which can be extended along the line, as well.

Ezt is rámérhetjük a számegyenesre.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

A lényeg: a tizedes tört és a hányados csak a számok egyfajta kifejezésmódja.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

A gyök 2 egyszerűen az egységnyi befogójú

with sides of a length one.

derékszögű háromszög átfogója.

Similarly, the famous irrational number pi

A híres irracionális szám, a pi,

is always equal to exactly what it represents,

pontosan egyenlő egy kör kerületének

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

és átmérőjének hányadosával.

Approximations like 22/7,

A közelítések, pl. a 22/7

or 355/113 will never precisely equal pi.

vagy a 355/113 soha nem pontosan egyenlő pi-vel.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Nem tudjuk, hogy valójában mi történt Hippasossal,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

de azt viszont igen, hogy fölfedezése forradalmasította a matematikát.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Szóljon bárhogyan is a legenda, ne féljünk fölfedezni a lehetetlent!