Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Dare un senso ai numeri irrazionali

Traduttore: Daniela Schirru Revisore: Marco Longhin

Like many heroes of Greek myths,

Come per molti eroi del mito greco,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

si racconta che il filosofo Ipasso sia stato condannato a morte dagli dei.

But what was his crime?

Ma quale fu il suo crimine?

Did he murder guests,

Uccise degli ospiti, o disturbò una cerimonia sacra?

or disrupt a sacred ritual?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

No, la colpa di Ipasso fu una prova di matematica:

the discovery of irrational numbers.

la scoperta dei numeri irrazionali.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Ipasso apparteneva al gruppo dei matematici pitagorici,

who had a religious reverence for numbers.

che aveva una religiosa venerazione per i numeri.

Their dictum of, "All is number,"

La loro massima "Tutto è numero",

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

suggeriva che i numeri fossero i mattoni dell'Universo

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

e parte di questa fede era che tutto, dalla cosmologia alla metafisica,

to music and morals followed eternal rules

dalla musica alla morale seguiva regole eterne,

describable as ratios of numbers.

descrivibili come rapporti tra numeri.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Ogni numero, quindi, poteva essere scritto come un rapporto.

5 as 5/1,

5 come 5/1,

0.5 as 1/2

0.5 come 1/2

and so on.

e così via.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Anche un decimale infinitamente esteso come questo

poteva essere espresso esattamente come 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Questi sono ciò che oggi noi chiamiamo numeri razionali.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Ma Ipasso trovò un numero che violava questa regola armoniosa,

one that was not supposed to exist.

uno che non sarebbe dovuto esistere.

The problem began with a simple shape,

Il problema cominciò con una semplice figura,

a square with each side measuring one unit.

un quadrato con entrambi i lati che misurano un'unità.

According to Pythagoras Theorem,

Secondo il Teorema di Pitagora,

the diagonal length would be square root of two,

la lunghezza diagonale era la radice quadrata di due,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

ma per quanto si sforzasse,

Ipasso non poteva esprimerla come rapporto tra due interi.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Invece di darsi per vinto, decise di dimostrare che non si poteva fare.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Ipasso iniziò col supporre che la visione pitagorica fosse vera,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

che la radice 2 potesse essere espressa come un rapporto di due numeri interi.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Egli chiamò questi ipotetici numeri interi p e q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Supponendo che il rapporto fosse ridotto alla sua forma più semplice,

p and q could not have any common factors.

p e q non potevano avere alcun fattore comune.

To prove that root 2 was not rational,

Per dimostrare che la radice di 2 non era un numero razionale,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Ipasso doveva solo dimostrare che p/q non poteva esistere.

So he multiplied both sides of the equation by q

Così moltiplicò entrambi i lati dell'equazione per q

and squared both sides.

e li elevò al quadrato.

which gave him this equation.

Ciò gli diede quest'equazione.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Moltiplicare ogni numero per 2 dà origine a un numero pari,

so p^2 had to be even.

così p^2 doveva essere pari.

That couldn't be true if p was odd

Ciò non poteva essere vero se p era dispari,

because an odd number times itself is always odd,

perché un numero dispari moltiplicato per se stesso è sempre dispari,

so p was even as well.

quindi p era pari.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Perciò, p poteva essere espresso come 2a, dove a è un numero intero.

Substituting this into the equation and simplifying

Sostituendo questo nell'equazione e semplificando

gave q^2 = 2a^2

ottenne q^2 = 2a^2.

Once again, two times any number produces an even number,

Ancora una volta, due per un numero qualunque produce un numero pari,

so q^2 must have been even,

quindi q^2 doveva essere pari,

and q must have been even as well,

e anche q doveva essere pari,

making both p and q even.

quindi entrambi p e q dovevano essere pari.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Ma se ciò fosse vero, allora sarebbero entrambi multipli di due,

which contradicted the initial statement,

cosa che contraddice l'affermazione iniziale,

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

e Ipasso concluse che una frazione del genere non esiste.

That's called a proof by contradiction,

Questa è chiamata prova contronominale,

and according to the legend,

e secondo la leggenda,

the gods did not appreciate being contradicted.

gli dei non apprezzarono di essere contraddetti.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Stranamente, anche se non possiamo esprimere i numeri irrazionali

as ratios of integers,

come rapporti di numeri interi,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

è possibile tracciarne precisamente alcuni sulla retta dei numeri.

Take root 2.

Prendiamo la radice 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Dobbiamo solo formare un triangolo rettangolo

con i 2 lati che misurano un'unità.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

L'ipotenusa ha una lunghezza di radice 2, e può essere riportata sulla linea.

We can then form another right triangle

Poi possiamo formarne un altro

with a base of that length and a one unit height,

con una base di quella lunghezza e l'altezza di un'unità,

and its hypotenuse would equal root three,

e la sua ipotenusa è uguale alla radice di tre,

which can be extended along the line, as well.

che può essere riportata sulla linea.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

La chiave è che i decimali e i rapporti sono solo un modo per esprimere i numeri.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

La radice 2 è semplicemente l'ipotenusa di un triangolo rettangolo

with sides of a length one.

con i lati di lunghezza uno.

Similarly, the famous irrational number pi

Allo stesso modo, il numero irrazionale π

is always equal to exactly what it represents,

è sempre uguale a ciò che rappresenta:

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

il rapporto della circonferenza di un cerchio sul suo diametro.

Approximations like 22/7,

Approssimazioni come 22/7, o 355/113,

or 355/113 will never precisely equal pi.

non saranno mai esattamente uguali a π.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Non sapremo mai cosa accadde a Ipasso,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

ma sappiamo che la sua scoperta ha rivoluzionato la matematica.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Quindi, qualunque cosa il mito racconti, non temete di esplorare l'impossibile.