Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

ทำความเข้าใจกับจำนวนอตรรกยะ - กาเนช ไพย์ (Ganesh Pai)

Translator: Sirasith Sopasilapa Reviewer: Kelwalin Dhanasarnsombut

Like many heroes of Greek myths,

เช่นเดียวกับฮีโร่มากมายในเทพนิกายกรีก

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

นักปราชญ์นามฮิปปาซุส (Hippasus) ถูกลงโทษอย่างร้ายแรงโดยเทพเจ้า

But what was his crime?

แต่ว่าเขาทำอะไรผิดหรือ

Did he murder guests,

เขาฆ่าคนหรือเปล่า

or disrupt a sacred ritual?

หรือไปขัดขวางพิธีกรรมศักดิ์สิทธิ์เข้า

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

ไม่หรอก ความผิดของเขาก็คือ การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์

the discovery of irrational numbers.

การค้นพบจำนวนอตรรกยะ

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

ฮิปปาซุสเป็นสมาชิกของกลุ่ม ที่ชื่อว่านักคณิตศาสตร์ พิธากอเรียน

who had a religious reverence for numbers.

พวกเขาเคารพนับถือในตัวเลข

Their dictum of, "All is number,"

สุภาษิตของพวกเขาที่ว่า "ทุกสิ่งคือจำนวน"

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

เสนอว่าจำนวน เป็นโครงสร้างพื้นฐานของจักรวาล

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

และเชื่อว่าทุกสิ่งทุกอย่าง ตั้งแต่จักรวาลวิทยาและอภิปรัชญา

to music and morals followed eternal rules

ไปจนถึงดนตรีและหลักจริยธรรม ล้วนก็เป็นไปตามกฎที่อยู่ชั่วนิรันดร์

describable as ratios of numbers.

ซึ่งสามารถอธิบายได้ ด้วยเศษส่วนของจำนวน

Thus, any number could be written as such a ratio.

ดังนั้น ไม่ว่าจำนวนใด ๆ ก็สามารถ ถูกเขียนให้ในรูปของเศษส่วนได้

5 as 5/1,

5 คือ 5 ส่วน 1

0.5 as 1/2

0.5 คือ 1 ส่วน 2

and so on.

แบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

แม้แต่ทศนิยมซ้ำที่มีตัวเลขไม่รู้จบเช่นนี้ ก็ยังสามารถแสดงได้ในรูป 34 ส่วน 45

All of these are what we now call rational numbers.

ปัจจุบันเราเรียกเลขทั้งหมดเหล่านี้ว่า จำนวนตรรกยะ

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

แต่ฮิปปาซุสได้ค้นพบตัวเลขหนึ่ง ซึ่งขัดกับกฎตายตัวนี้

one that was not supposed to exist.

ตัวเลขซึ่งไม่ควรจะมีอยู่จริง

The problem began with a simple shape,

ปัญหานี้เริ่มจากรูปร่างทั่ว ๆ ไป

a square with each side measuring one unit.

สี่เหลี่ยมจตุรัสที่แต่ละด้านยาวหนึ่งหน่วย

According to Pythagoras Theorem,

ตามทฤษฎีของพิธากอรัส

the diagonal length would be square root of two,

ความยาวของเส้นทแยงมุมของรูปนี้ ควรมีค่าเท่ากับรากที่สองของสอง

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

แต่ถึงจะแล้ว ฮิปปาซุสก็ไม่สามารถ เขียนมันให้อยู่ในรูปเศษส่วนได้

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

แทนที่จะยอมแพ้ เขาตัดสินใจ ที่จะพิสูจน์ว่ามันเป็นไปไม่ได้

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

ฮิปปาซุสเริ่มจากการสมมติว่า แนวคิดของพิธากอเรียนคือสิ่งที่ถูกต้อง

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

คือรากที่สองของสองสามารถถูกเขียน ออกมาในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้

He labeled these hypothetical integers p and q.

เขาตั้งชื่อจำนวนเต็มสมมติทั้งสองว่า p และ q

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

และสมมติให้เศษส่วนนี้ ลดอยู่ในรูปแบบที่ง่ายที่สุดของมัน

p and q could not have any common factors.

ซึ่ง p และ q จะไม่มีตัวประกอบร่วมกัน

To prove that root 2 was not rational,

และเพื่อที่จะพิสูจน์ว่า รากที่สองของสองไม่ใช่จำนวนตรรกยะ

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

ฮิปปาซุสจะต้องแสดงให้ได้ว่า p และ q ไม่มีอยู่จริง

So he multiplied both sides of the equation by q

เขาจึงคูณทั้งสองข้างของสมการนี้ ด้วย q

and squared both sides.

และใส่ยกกำลังสองทั้งสองข้าง

which gave him this equation.

ซึ่งทำให้ได้สมการออกมาเป็นดังนี้

Multiplying any number by 2 results in an even number,

การคูณจำนวนใด ๆ ด้วย 2 จะทำให้จำนวนนั้นเป็นเลขคู่

so p^2 had to be even.

ฉะนั้น p ยกกำลัง 2 ก็ควรจะเป็นเลขคู่ด้วย

That couldn't be true if p was odd

ซึ่งนั่นจะไม่เป็นจริง ถ้าหาก p เป็นเลขคี่อยู่แล้ว

because an odd number times itself is always odd,

เพราะเลขคี่ใด ๆ เมื่อคูณด้วยตัวเองเข้าไป ก็ยังได้ผลเป็นเลขคี่อยู่ดี

so p was even as well.

ฉะนั้น p จึงเป็นเลขคู่เช่นกัน

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

ดังนั้น p จึงสามารถถูกแสดงในรูป 2a เมื่อ a เป็นจำนวนเต็ม

Substituting this into the equation and simplifying

แทนที่มันเข้าไปในสมการ และทำให้เป็นขั้นต่ำ

gave q^2 = 2a^2

จะได้ q ยกกำลังสอง เท่ากับ สอง a ยกกำลังสอง

Once again, two times any number produces an even number,

อีกครั้งหนึ่ง เมื่อนำ 2 คูณ จำนวนใด ๆ จะได้ผลลัพธ์เป็นเลขคู่

so q^2 must have been even,

ฉะนั้น q ยกกำลัง 2 ก็ต้องเป็นเลขคู่

and q must have been even as well,

และ q เองก็ต้องเป็นเลขคู่เช่นกัน

making both p and q even.

นั่นทำให้ทั้ง p และ q ต่างก็เป็นเลขคู่

But if that was true, then they had a common factor of two,

แต่หากว่าสิ่งดังกล่าวเป็นจริง สองจำนวนนี้ก็จะมีตัวประกอบร่วมเป็น 2

which contradicted the initial statement,

ซึ่งมันจะไปขัดกับข้อกำหนดเบื้องต้น

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

และนี่คือวิธีที่ฮิปปาซุสสรุปได้ว่า เศษส่วนดังกล่าวนี้ไม่มีอยู่จริง

That's called a proof by contradiction,

เราเรียกมันว่า การพิสูจน์โดยข้อขัดแย้ง

and according to the legend,

และตามตำนานกล่าวว่า

the gods did not appreciate being contradicted.

เทพเจ้าไม่ได้พอใจนักที่โดนหักล้าง

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

ที่น่าสนใจก็คือ ถึงแม้เราจะไม่สามารถ เขียนจำนวนอตรรกยะ

as ratios of integers,

ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มไม่ได้

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

มันเป็นไปได้ที่จะหาตำแหน่ง บนเส้นจำนวนได้อย่างแน่นอน

Take root 2.

อย่างเช่น รากที่ 2

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

ที่เราต้องทำก็คือวาดสามเหลี่ยมมุมฉาก ที่มีทั้งสองด้านยาวหนึ่งหน่วย

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

ด้านตรงข้ามมุมฉากจะยาวเท่ากับรากที่สอง ซึ่งสามารถทบลงมาบนเส้นจำนวนได้

We can then form another right triangle

แล้วเราก็สร้างสามเหลี่ยมุมฉากรูปใหม่

with a base of that length and a one unit height,

โดยใช้มันเป็นความยาวฐาน และให้ความสูงเป็นหนึ่งหน่วย

and its hypotenuse would equal root three,

จะได้ด้านตรงข้ามมุมฉากที่มีความยาว เท่ากับรากที่สองของสาม

which can be extended along the line, as well.

ซึ่งสามารถทบลงมา วางบนเส้นจำนวนได้เช่นกัน

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

สิ่งสำคัญก็คือ ทศนิยมและเศษส่วน เป็นวิธีเดียวที่จะแสดงค่าของจำนวน

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

รากที่สองของสองคือความยาวด้านตรงข้าม ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

with sides of a length one.

ที่มีด้านประกอบยาวหนึ่งหน่วย

Similarly, the famous irrational number pi

จำนวนอตรรกยะ pi ที่โด่งดังก็เช่นกัน

is always equal to exactly what it represents,

มันจะมีค่าเท่ากับสิ่งที่มันแสดงถึงเสมอ

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

นั่นก็คือเศษส่วนของเส้นรอบวง กับเส้นผ่านศูนย์กลาง

Approximations like 22/7,

จำนวนโดยประมาณ อย่าง 22 ส่วน 7

or 355/113 will never precisely equal pi.

หรือ 355 ส่วน 113 ต่างก็ไม่ได้มีค่าเท่ากับ pi ทีเดียว

We'll never know what really happened to Hippasus,

เราไม่มีทางรู้เลยว่าอะไรเกิดขึ้นฮิปปาซุส

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

แต่สิ่งที่เรารู้ก็คือ การค้นพบของเขา ได้ปฏิวัติวงการคณิตศาสตร์

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

ฉะนั้น ไม่ว่าตำนานจะบอกเราว่าอย่างไร จงอย่ากลัวที่จะสำรวจสิ่งที่เป็นไปไม่ได้