Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Tradutor: Margarida Ferreira Revisora: Mafalda Ferreira

Like many heroes of Greek myths,

Tal como muitos heróis dos mitos gregos,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

consta que o filósofo Hipaso foi mortalmente punido pelos deuses.

But what was his crime?

Mas qual foi o seu crime?

Did he murder guests,

Terá assassinado convidados

or disrupt a sacred ritual?

ou profanado algum ritual sagrado?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Não, a transgressão de Hipaso foi uma demonstração matemática:

the discovery of irrational numbers.

a descoberta dos números irracionais.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hipaso pertencia a um grupo chamado os "matemáticos pitagóricos"

who had a religious reverence for numbers.

que tinham uma reverência religiosa pelos números.

Their dictum of, "All is number,"

A sua máxima de "Tudo é um número",

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

sugeria que os números eram os blocos constituintes do Universo

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

e parte desta crença era que tudo, desde a cosmologia e a metafísica

to music and morals followed eternal rules

até à música e à ética, seguia regras eternas

describable as ratios of numbers.

que podiam ser descritas como razões de números.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Assim, qualquer número podia ser escrito como uma razão,

5 as 5/1,

5 como 5 sobre 1,

0.5 as 1/2

05, como 1 sobre 2,

etc.

and so on.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Até mesmo um número decimal de extensão infinita como este,

podia ser expresso com exatidão como 34 sobre 45.

All of these are what we now call rational numbers.

Todos estes números são aquilo a que chamamos hoje

os números racionais.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Mas Hipaso descobriu um número que violava esta regra harmoniosa,

um número que não devia existir.

one that was not supposed to exist.

The problem began with a simple shape,

O problema começa com uma forma simples,

a square with each side measuring one unit.

um quadrado em que cada lado mede uma unidade.

According to Pythagoras Theorem,

Segundo o Teorema de Pitágoras,

the diagonal length would be square root of two,

o comprimento da diagonal é igual à raiz quadrada de dois,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

mas, por mais que tentasse,

Hipaso não conseguiu exprimir isso como uma razão de dois números inteiros.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Em vez de desistir, decidiu demonstrar que não era possível fazê-lo.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Hipaso começou por assumir que a visão pitagórica estava correta,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

que a raiz de 2 podia exprimir-se como uma razão de dois números inteiros.

Chamou p e q a esses hipotéticos números inteiros.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Se a razão podia ser expressa na sua forma mais simples,

p and q could not have any common factors.

p e q não podiam ter fatores comuns.

To prove that root 2 was not rational,

Para demonstrar que a raiz de 2 não era racional,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hipaso tinha que demonstrar que p/q não podia existir.

So he multiplied both sides of the equation by q

Portanto multiplicou ambos os termos da equação por q

and squared both sides.

e elevou ao quadrado os dois termos da equação.

which gave him this equation.

o que lhe deu esta equação.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

A multiplicação de qualquer número por 2 dá sempre um número par,

so p^2 had to be even.

portanto o quadrado de p tinha que ser par.

That couldn't be true if p was odd

Se p fosse ímpar, isso não podia estar correto,

because an odd number times itself is always odd,

porque um número ímpar multiplicado por si mesmo é sempre ímpar,

so p was even as well.

portanto p também tinha que ser par.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Assim, p podia ser expresso por 2a, em que a é um número inteiro.

Substituting this into the equation and simplifying

Substituindo p por 2a, na equação, e simplificando,

gave q^2 = 2a^2

obtemos : q^2 = 2a^2

Once again, two times any number produces an even number,

Mais uma vez, qualquer número multiplicado por 2 dá um número par,

so q^2 must have been even,

portanto q ao quadrado tinha que ser par,

and q must have been even as well,

e q também tinha que ser par,

ou seja, p e q tinham que ser pares.

making both p and q even.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Mas, se isso estivesse correto, tinham que ter um fator comum: 2.

which contradicted the initial statement,

Isso contradizia a afirmação inicial.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

Foi assim que Hipaso concluiu que aquela razão não podia existir.

That's called a proof by contradiction,

Chama-se a isto a prova por contradição.

and according to the legend,

Segundo a lenda,

the gods did not appreciate being contradicted.

os deuses não acharam graça a serem desmentidos.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Curiosamente, apesar de não podermos exprimir números irracionais

as ratios of integers,

sob a forma de razões de números inteiros,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

é possível determinar a sua posição numa linha de números.

Take root 2.

Vejamos a raiz quadrada de 2.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Basta desenharmos um triângulo retângulo

com dois lados, medindo ambos uma unidade.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

A hipotenusa tem um comprimento igual à raiz quadrada de 2,

que pode ser projetada sobre a linha.

We can then form another right triangle

Podemos depois formar outro triângulo retângulo

with a base of that length and a one unit height,

com uma base com esse comprimento e a altura de uma unidade.

and its hypotenuse would equal root three,

A hipotenusa será igual à raiz quadrada de 3,

which can be extended along the line, as well.

que também pode ser projetada sobre a linha.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

O importante aqui é que exprimimos os números com decimais e razões

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

A raiz quadrada de 2 é a hipotenusa dum triângulo retângulo

with sides of a length one.

em que os lados têm o comprimento de um.

Similarly, the famous irrational number pi

Do mesmo modo, pi, o famoso número irracional

is always equal to exactly what it represents,

é sempre igual exatamente ao que representa,

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

a razão da circunferência de um círculo com o seu diâmetro.

Approximations like 22/7,

Aproximações como 22/7,

or 355/113 will never precisely equal pi.

ou 355/113 nunca serão exatamente iguais a pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Nunca saberemos o que aconteceu a Hipaso,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

mas sabemos que a sua descoberta revolucionou a matemática.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Portanto, digam o que disserem os mitos, não receiem explorar o impossível.