Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Tłumaczenie: Maria Barć Korekta: Ola Królikowska

Like many heroes of Greek myths,

Jak wielu innych bohaterów z greckich mitów

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

filozof Hippazos miał zostać ukarany przez bogów.

But what was his crime?

Ale za co?

Did he murder guests,

Zamordował gości?

or disrupt a sacred ritual?

Zakłócił święte obrządki?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Nie. Przestępstwem Hippazosa było matematyczne udowodnienie,

the discovery of irrational numbers.

że liczby niewymierne istnieją.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Hippazos należał do pitagorejskich matematyków,

who had a religious reverence for numbers.

którzy liczby darzyli boską czcią.

Their dictum of, "All is number,"

Ich motto "Wszystko jest liczbą"

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

oznaczało, że wszechświat miał być zbudowany z liczb,

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

więc wszystko od kosmologii i metafizyki,

to music and morals followed eternal rules

po muzykę i etykę kierowało się wiecznymi zasadami,

describable as ratios of numbers.

które można było wyrazić jako stosunki liczb.

Zapisać tak można było każdą liczbę.

Thus, any number could be written as such a ratio.

5 as 5/1,

5 to 5/1,

0.5 as 1/2

0,5 to 1/2

i tak dalej.

and so on.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Nawet taki nieskończony ułamek dziesiętny można wyrazić jako 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

To liczby wymierne.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Ale Hippazos znalazł liczbę, która się z tego wyłamała

i nie powinna była istnieć.

one that was not supposed to exist.

The problem began with a simple shape,

Wszystko zaczęło się od prostej figury,

a square with each side measuring one unit.

kwadratu o boku długości 1.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

According to Pythagoras Theorem,

the diagonal length would be square root of two,

długość przekątnej wynosi pierwiastek z 2,

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

ale mimo starań, Hippazos nie umiał jej wyrazić jako stosunku liczb całkowitych.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Postanowił udowodnić, że to niemożliwe.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Zgodnie z doktryną pitagorejską przyjął,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

że pierwiastek z 2 można wyrazić jako stosunek liczb całkowitych.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Oznaczmy te liczby p i q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Zakładamy, że ułamek jest już skrócony do najprostszej postaci,

p and q could not have any common factors.

czyli p i q nie mają wspólnych dzielników.

To prove that root 2 was not rational,

Żeby udowodnić, że pierwiastek z 2 jest niewymierny,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

Hippazos musiał wykazać, że p/q nie istnieje.

Obie strony równania pomnożył przez q

So he multiplied both sides of the equation by q

and squared both sides.

i podniósł do kwadratu.

Powstało takie równanie.

which gave him this equation.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Każda liczba pomnożona przez 2 daje parzysty wynik,

so p^2 had to be even.

więc p^2 musi być parzysta.

That couldn't be true if p was odd

Gdyby p była nieparzysta,

because an odd number times itself is always odd,

to jej kwadrat też byłby nieparzysty,

so p was even as well.

więc p musi być parzysta.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Można ją zapisać jako 2a, gdzie a to liczba całkowita.

Substituting this into the equation and simplifying

Podstawmy to do równania i uprośćmy.

gave q^2 = 2a^2

Otrzymamy q^2 = 2a^2.

Once again, two times any number produces an even number,

Mnożenie przez 2 zawsze daje parzysty wynik,

so q^2 must have been even,

więc q^2 musi być parzysta.

and q must have been even as well,

Parzysta będzie też q.

making both p and q even.

Zarówno p, jak i q są parzyste.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Ale to oznacza, że p i q mają wspólny dzielnik, dwa,

which contradicted the initial statement,

a to przeczy początkowemu założeniu.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

Hippazos zyskał pewność, że nie ma takiego ułamka.

That's called a proof by contradiction,

To dowód "nie wprost",

and according to the legend,

a według legendy

the gods did not appreciate being contradicted.

bogowie nie lubią, kiedy traktuje się ich nie wprost.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Choć nie można wyrazić liczb niewymiernych

as ratios of integers,

jako stosunku liczb całkowitych,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

niektóre z nich można zaznaczyć na osi.

Take root 2.

Weźmy pierwiastek z dwóch.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Wystarczy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości 1.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

Przeciwprostokątna ma długość pierwiastka z 2

i można ją odłożyć na osi.

We can then form another right triangle

Teraz narysujmy trójkąt

with a base of that length and a one unit height,

o podstawie i wysokości długości 1.

and its hypotenuse would equal root three,

Jego przeciwprostokątna jest równa pierwiastek z 3

which can be extended along the line, as well.

i też można ją odłożyć na osi.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

Ułamki zwykłe i dziesiętne to tylko sposób zapisu.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

Pierwiastek z 2 to po prostu przeciwprostokątna

with sides of a length one.

trójkąta o boku 1.

Similarly, the famous irrational number pi

Słynna niewymierna liczba pi jest zawsze równa

is always equal to exactly what it represents,

stosunkowi obwodu koła do jego średnicy.

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

Approximations like 22/7,

Przybliżenia, jak 22/7

or 355/113 will never precisely equal pi.

czy 355/113, nigdy nie będą równe pi.

We'll never know what really happened to Hippasus,

Nie wiemy, co się stało z Hippazosem,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

ale jego odkrycie zrewolucjonizowało matematykę.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Więc nie przejmujcie się mitami i badajcie to, co niemożliwe.