Making sense of irrational numbers - Ganesh Pai

Разбираемся в иррациональных числах — Ганеш Пай

Переводчик: Inna Kobylnik Редактор: Yulia Kallistratova

Like many heroes of Greek myths,

Как и многих героев греческих мифов,

the philosopher Hippasus was rumored to have been mortally punished by the gods.

философа Гиппаса по слухам наказали боги.

But what was his crime?

В чём же было его преступление?

Did he murder guests,

Он убивал гостей?

or disrupt a sacred ritual?

Или нарушил священный ритуал?

No, Hippasus's transgression was a mathematical proof:

Нет. Он был виновен в математическом доказательстве —

the discovery of irrational numbers.

открытии иррациональных чисел.

Hippasus belonged to a group called the Pythagorean mathematicians

Гиппас принадлежал группе «Пифагорейских математиков»,

who had a religious reverence for numbers.

которая относилась к числам с религиозным благоговением.

Their dictum of, "All is number,"

Их изречение «Всё есть число» означало,

suggested that numbers were the building blocks of the Universe

что из чисел состоит Вселенная,

and part of this belief was that everything from cosmology and metaphysics

а также что всё, начиная от космологии и метафизики

to music and morals followed eternal rules

и заканчивая музыкой и моралью, следует нерушимым правилам,

describable as ratios of numbers.

которые можно описать соотношениями чисел.

Thus, any number could be written as such a ratio.

Любое число можно записать в виде отношения.

5 as 5/1,

5 как 5/1,

0.5 as 1/2

0,5 как 1/2

and so on.

и так далее.

Even an infinitely extending decimal like this could be expressed exactly as 34/45.

Даже эту бесконечно длинную десятичную дробь

можно выразить как 34/45.

All of these are what we now call rational numbers.

Такие числа мы называем рациональными.

But Hippasus found one number that violated this harmonious rule,

Однако Гиппас нашёл число, которое нарушало это стройное правило.

one that was not supposed to exist.

Этого числа не должно было существовать.

The problem began with a simple shape,

Проблема началась с простой фигуры — квадрата,

a square with each side measuring one unit.

стóроны которого были равны единице.

According to Pythagoras Theorem,

Согласно теореме Пифагора,

the diagonal length would be square root of two,

его диагональ будет равняться квадратному корню из двух.

but try as he might, Hippasus could not express this as a ratio of two integers.

Но как бы Гиппас ни пытался,

он не смог выразить это число отношением двух целых чисел.

And instead of giving up, he decided to prove it couldn't be done.

Но он не сдался,

а решил доказать, что этого сделать нельзя.

Hippasus began by assuming that the Pythagorean worldview was true,

Гиппас начал с предположения, что взгляды пифагорейцев были верны,

that root 2 could be expressed as a ratio of two integers.

и корень из 2 может быть выражен как отношение двух целых чисел.

He labeled these hypothetical integers p and q.

Эти гипотетически целые числа он обозначил как p и q.

Assuming the ratio was reduced to its simplest form,

Допустим, что это несократимая дробь,

p and q could not have any common factors.

тогда p и q не будут иметь общего делителя.

To prove that root 2 was not rational,

Иррациональность корня из двух Гиппас должен был доказать тем,

Hippasus just had to prove that p/q cannot exist.

что p/q не может существовать.

So he multiplied both sides of the equation by q

Поэтому он умножил обе части уравнения на q,

and squared both sides.

а затем возвёл их в квадрат.

which gave him this equation.

И получил такое уравнение.

Multiplying any number by 2 results in an even number,

Умножение любого числа на 2 даёт чётное число,

so p^2 had to be even.

поэтому p^2 должно быть чётным.

That couldn't be true if p was odd

Это несправедливо для нечётного p,

because an odd number times itself is always odd,

потому что умножение нечётного числа на само себя

даёт нечётное число,

so p was even as well.

поэтому p было чётным.

Thus, p could be expressed as 2a, where a is an integer.

Таким образом, p можно выразить как 2a,

где a — целое число.

Substituting this into the equation and simplifying

Подставив его в уравнение и упростив,

gave q^2 = 2a^2

мы получаем q^2 = 2a^2

Once again, two times any number produces an even number,

Повторим ещё раз: любое число, умноженное на 2, будет чётным.

so q^2 must have been even,

А значит, q^2 должно быть чётным,

and q must have been even as well,

как и само q.

making both p and q even.

Получается, что оба числа p и q являются чётными.

But if that was true, then they had a common factor of two,

Но тогда они должны иметь общий делитель 2,

which contradicted the initial statement,

что противоречит начальному утверждению.

and that's how Hippasus concluded that no such ratio exists.

Именно так Гиппас сделал вывод о том, что такого отношения не существует.

That's called a proof by contradiction,

Это называется доказательством «от противного»,

and according to the legend,

и, согласно легенде,

the gods did not appreciate being contradicted.

богам не понравилось такое противоречие.

Interestingly, even though we can't express irrational numbers

Несмотря на то, что иррациональные числа невозможно выразить отношением целых,

as ratios of integers,

it is possible to precisely plot some of them on the number line.

их можно изобразить на числовой прямой.

Take root 2.

Возьмём корень из двух.

All we need to do is form a right triangle with two sides each measuring one unit.

Нам нужно нарисовать прямоугольный треугольник,

катеты которого равны единице.

The hypotenuse has a length of root 2, which can be extended along the line.

Его гипотенуза будет равна корню из двух,

и её можно отложить на числовой прямой.

We can then form another right triangle

Затем нарисуем ещё один прямоугольный треугольник,

with a base of that length and a one unit height,

больший катет которого равен гипотенузе первого, а меньший — единице.

and its hypotenuse would equal root three,

Его гипотенуза будет равна корню из трёх,

which can be extended along the line, as well.

который можно также отложить на прямой.

The key here is that decimals and ratios are only ways to express numbers.

Суть в том, что выражать числа можно только десятичными дробями и отношением.

Root 2 simply is the hypotenuse of a right triangle

А корень из двух — это гипотенуза прямоугольного треугольника

with sides of a length one.

с катетами, равными единице.

Similarly, the famous irrational number pi

Так и знаменитое иррациональное число «Пи»

is always equal to exactly what it represents,

всегда равно тому, что оно представляет, —

the ratio of a circle's circumference to its diameter.

соотношению длины окружности к её диаметру.

Approximations like 22/7,

Приблизительные значения вроде 22/7

or 355/113 will never precisely equal pi.

или 355/113

никогда не будут точно равны числу «Пи».

We'll never know what really happened to Hippasus,

Мы никогда не узна́ем, что произошло с Гиппасом,

but what we do know is that his discovery revolutionized mathematics.

но мы точно знаем, что его открытие произвело революцию в математике.

So whatever the myths may say, don't be afraid to explore the impossible.

Поэтому, что бы ни рассказывали мифы, не бойтесь исследовать невозможное.