Check your intuition: The birthday problem - David Knuffke

Перевірте свою інтуїцію: Проблема днів народження -Девід Кнаффке

Перекладач: Inna Fedorenko Утверджено: Khrystyna Romashko

Imagine a group of people.

Уявіть собі групу людей.

How big do you think the group would have to be

Наскільки великою, на вашу думку, має бути група,

before there's more than a 50% chance that two people in the group

коли ймовірність, що у двох людей в групі

have the same birthday?

буде однакова дата народження, сягне 50%?

Assume for the sake of argument that there are no twins,

Припустимо заради чистоти фактів, що там нема близнюків,

that every birthday is equally likely,

що кожен день народження є цілком однаковим,

and ignore leap years.

і будемо ігнорувати високосні роки.

Take a moment to think about it.

Подумайте про це на хвилинку.

The answer may seem surprisingly low.

Числа будуть навдивовижу низькими.

In a group of 23 people,

В групі із 23-ох осіб,

there's a 50.73% chance that two people will share the same birthday.

шанс, що у двох людей буде однакова дата народження дорівнюватиме 50.73%.

But with 365 days in a year,

Але коли у році 365 днів,

how's it possible that you need such a small group

хіба можливо що у такої малої групи

to get even odds of a shared birthday?

взагалі є шанс мати спільну дату народження?

Why is our intuition so wrong?

Чому наша інтуїція так помиляється?

To figure out the answer,

Щоб розрахувати відповідь,

let's look at one way a mathematician

давайте розглянемо спосіб, яким математик

might calculate the odds of a birthday match.

може вирахувати шанси на співпадіння дат.

We can use a field of mathematics known as combinatorics,

Ми можемо використати розділ математики, відомий як комбінаторика,

which deals with the likelihoods of different combinations.

котрий має справу з ймовірностями.

The first step is to flip the problem.

Перший крок - це переглянути проблему.

Trying to calculate the odds of a match directly is challenging

Спроба безпосередньо розрахувати шанси на співпадіння є складним завданням,

because there are many ways you could get a birthday match in a group.

бо існує чимало способів отримати співпадіння в групі.

Instead, it's easier to calculate the odds that everyone's birthday is different.

Натомість, простіше підрахувати випадки, коли у кожного різна дата народження.

How does that help?

Як це допоможе?

Either there's a birthday match in the group, or there isn't,

Чи є, чи немає співпадіння в даті народження,

so the odds of a match and the odds of no match

та шанси на співпадіння і шанси на неспівпадіння

must add up to 100%.

потрібно дотати до 100%.

That means we can find the probability of a match

Це означає, що ми можемо знайти ймовірність співпадіння

by subtracting the probability of no match from 100.

віднімаючи ймовірність неспівпадіння від 100.

To calculate the odds of no match, start small.

Щоб розрахувати шанси на неспівпадіння потрібно почати з простого.

Calculate the odds that just one pair of people have different birthdays.

Розрахувати шанси, що лише у однієї пари будуть різні дати народження.

One day of the year will be Person A's birthday,

Один день у році буде днем народження особи А,

which leaves only 364 possible birthdays for Person B.

що лишає 364 інших можливих дні народження для особи Б.

The probability of different birthdays for A and B, or any pair of people,

Ймовірність різних днів народження для А та Б чи іншої пари людей,

is 364 out of 365,

буде 364 з 365,

about 0.997, or 99.7%, pretty high.

приблизно 0,997 чи 99,7% досить висока.

Bring in Person C.

Додамо особу В.

The probability that she has a unique birthday in this small group

Ймовірність, що у неї унікальна дата народження у цій малій групі

is 363 out of 365

буде 363 з 365,

because there are two birthdates already accounted for by A and B.

бо вже є дві дати народження, підраховані для А та Б.

D's odds will be 362 out of 365, and so on,

Коли додати Д, то буде 362 з 365, і так далі,

all the way down to W's odds of 343 out of 365.

на шляху до Я, шанси будуть 343 з 365.

Multiply all of those terms together,

Помножте всі ці числа разом

and you'll get the probability that no one shares a birthday.

і ви отримаєте ймовірність, що ні в кого не співпадає день народження.

This works out to 0.4927,

Це приводить до числа 0,4927,

so there's a 49.27% chance that no one in the group of 23 people shares a birthday.

тож ймовірність, що у групі з 23 людей однакова дата народження буде 49.27%.

When we subtract that from 100, we get a 50.73% chance

Коли ми віднімемо це від 100, то отримаємо шанс в 50.73%,

of at least one birthday match,

принаймні на співпадіння однієї дати народження,

better than even odds.

це краще, ніж імовірність.

The key to such a high probability of a match in a relatively small group

Ключ до такої високої ймовірності співпадінь в досить малій групі

is the surprisingly large number of possible pairs.

полягає в дивовижно великій кількості можливих пар.

As a group grows, the number of possible combinations gets bigger much faster.

При зростанні групи, число можливих комбінацій зростатиме набагато швидше.

A group of five people has ten possible pairs.

У групи з п'яти людей буде десять можливих пар.

Each of the five people can be paired with any of the other four.

Кожен з п'яти осіб може скласти пару іншому з чотирьох.

Half of those combinations are redundant

Половина з цих п'яти комбінацій є зайвими,

because pairing Person A with Person B is the same as pairing B with A,

оскільки пара із А та Б, те саме, що і пара Б та А,

so we divide by two.

тож ми розділимо на два.

By the same reasoning,

І з тими ж міркуваннями,

a group of ten people has 45 pairs,

група з десяти людей має 45 пар,

and a group of 23 has 253.

а група з 23 має 253 пари.

The number of pairs grows quadratically,

Число пар зростає квадратично,

meaning it's proportional to the square of the number of people in the group.

тобто пропорційно кількості людей в групі у квадраті.

Unfortunately, our brains are notoriously bad

На жаль, нашому мозку дуже погано

at intuitively grasping non-linear functions.

вдається сприймати нелінійні функції.

So it seems improbable at first that 23 people could produce 253 possible pairs.

Спершу здається неймовірним, що з 23 людей можна зробити 253 ймовірні пари.

Once our brains accept that, the birthday problem makes more sense.

Як тільки наш мозок прийме це, то проблема з днем народження видасться зрозумілішою.

Every one of those 253 pairs is a chance for a birthday match.

У кожної з 253 пар буде шанс на співпадіння в даті.

For the same reason, in a group of 70 people,

З тієї ж самої причини, в групі із 70 людей

there are 2,415 possible pairs,

буде 2415 можливих пар,

and the probability that two people have the same birthday is more than 99.9%.

і ймовірність, що двоє людей матимуть однаковий день народження більша, ніж 99.9%.

The birthday problem is just one example where math can show

Проблема днів народження - лише приклад, коли співпадіння може показати,

that things that seem impossible,

що речі, котрі видаються неможливими,

like the same person winning the lottery twice,

як одна людина, котра виграє двічі в лотерею,

actually aren't unlikely at all.

власне, не такі вже і неймовірні.

Sometimes coincidences aren't as coincidental as they seem.

Іноді співпадіння не такі вже і випадкові.