Check your intuition: The birthday problem - David Knuffke

Przetestuj swoją intuicję: Problem urodzin - David Knuffke

Tłumaczenie: Agnieszka Jaromin Korekta: Ola Królikowska

Imagine a group of people.

Wyobraź sobie grupę ludzi.

How big do you think the group would have to be

Jak duża musiałaby być ta grupa,

before there's more than a 50% chance that two people in the group

żeby było ponad 50% szans, że dwie osoby będą miały urodziny

have the same birthday?

tego samego dnia?

Assume for the sake of argument that there are no twins,

Załóżmy, że nie ma bliźniąt,

that every birthday is equally likely,

każdy dzień urodzin jest równie prawdopodobny

and ignore leap years.

i zignorujmy lata przestępne.

Take a moment to think about it.

Zastanów się chwilę.

The answer may seem surprisingly low.

Odpowiedź może być zaskakująca.

In a group of 23 people,

W grupie 23 osób

there's a 50.73% chance that two people will share the same birthday.

jest 50,73% prawdopodobieństwa, że dwie osoby będą miały razem urodziny.

But with 365 days in a year,

Ale skoro rok ma 365 dni,

how's it possible that you need such a small group

jak to możliwe, że wystarczy tak mała grupa

to get even odds of a shared birthday?

do uzyskania 50% szans na wspólne urodziny?

Why is our intuition so wrong?

Dlaczego nasza intuicja tak bardzo się myli?

To figure out the answer,

Żeby znaleźć odpowiedź,

let's look at one way a mathematician

spójrzmy na metodę, którą matematyk

might calculate the odds of a birthday match.

może wykorzystać do obliczenia prawdopodobieństwa wspólnych urodzin.

We can use a field of mathematics known as combinatorics,

Wykorzystajmy kombinatorykę, dziedzinę matematyki

which deals with the likelihoods of different combinations.

zajmującą się prawdopodobieństwem różnych kombinacji.

The first step is to flip the problem.

Najpierw odwróćmy problem.

Trying to calculate the odds of a match directly is challenging

Obliczenie prawdopodobieństwa wspólnych urodzin jest trudne,

because there are many ways you could get a birthday match in a group.

bo wynik można uzyskać na wiele sposobów.

Instead, it's easier to calculate the odds that everyone's birthday is different.

Łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo, że każdy ma urodziny innego dnia.

How does that help?

Co nam to da?

Either there's a birthday match in the group, or there isn't,

W grupie albo są wspólne urodziny, albo nie,

so the odds of a match and the odds of no match

więc prawdopodobieństwa ich istnienia i nieistnienia

must add up to 100%.

dają razem 100%.

That means we can find the probability of a match

Szanse ich wystąpienia można obliczyć,

by subtracting the probability of no match from 100.

odejmując szanse ich niewystąpienia od 100.

To calculate the odds of no match, start small.

Obliczanie szans braku wspólnych urodzin zacznijmy od czegoś prostego.

Calculate the odds that just one pair of people have different birthdays.

Obliczmy prawdopodobieństwo, że dwie osoby będą miały urodziny w różne dni.

One day of the year will be Person A's birthday,

Jeden dzień roku to urodziny osoby A,

which leaves only 364 possible birthdays for Person B.

co daje 364 możliwe dni urodzin osoby B.

The probability of different birthdays for A and B, or any pair of people,

Prawdopodobieństwo różnych urodzin A i B lub dowolnej pary osób

is 364 out of 365,

wynosi 364 z 365,

about 0.997, or 99.7%, pretty high.

około 0,997 lub 99,7%, czyli bardzo dużo.

Bring in Person C.

Dodajmy osobę C.

The probability that she has a unique birthday in this small group

Prawdopodobieństwo, że ma ona osobne urodziny w tak małej grupie,

is 363 out of 365

wynosi 363 z 365,

because there are two birthdates already accounted for by A and B.

bo dwa dni są już zajęte przez A i B.

D's odds will be 362 out of 365, and so on,

W przypadku D prawdopodobieństwo wyniesie 362 z 365 i tak dalej,

all the way down to W's odds of 343 out of 365.

aż do W z prawdopodobieństwem 343 z 365.

Multiply all of those terms together,

Pomnóżmy te wyniki,

and you'll get the probability that no one shares a birthday.

a otrzymamy prawdopodobieństwo braku wspólnych urodzin.

This works out to 0.4927,

Wynik to 0,4927,

so there's a 49.27% chance that no one in the group of 23 people shares a birthday.

więc jest 49,27% szans, że wśród 23 osób nikt nie ma wspólnych urodzin.

When we subtract that from 100, we get a 50.73% chance

Po odjęciu od 100 otrzymamy 50,73% szans

of at least one birthday match,

na przynajmniej jedne wspólne urodziny.

better than even odds.

To więcej niż 50%.

The key to such a high probability of a match in a relatively small group

Kluczem do wysokiego prawdopodobieństwa w stosunkowo małej grupie

is the surprisingly large number of possible pairs.

jest bardzo duża liczba możliwych par.

As a group grows, the number of possible combinations gets bigger much faster.

Z powiększaniem się grupy liczba możliwych kombinacji wzrasta o wiele szybciej.

A group of five people has ten possible pairs.

W pięcioosobowej grupie istnieje dziesięć możliwych par.

Each of the five people can be paired with any of the other four.

Każda z pięciu osób może stworzyć parę z pozostałymi czterema osobami.

Half of those combinations are redundant

Połowa tych kombinacji jest zbędna,

because pairing Person A with Person B is the same as pairing B with A,

bo para osoby A z osobą B to para osoby B z osobą A,

so we divide by two.

więc wynik dzielimy na pół.

By the same reasoning,

Na tej samej zasadzie

a group of ten people has 45 pairs,

w grupie dziesięciu osób jest 45 par,

and a group of 23 has 253.

a w grupie 23 osób są 253 pary.

The number of pairs grows quadratically,

Liczba par wzrasta kwadratowo,

meaning it's proportional to the square of the number of people in the group.

czyli jest proporcjonalna do kwadratu liczby osób w grupie.

Unfortunately, our brains are notoriously bad

Niestety, nasze mózgi nie radzą sobie

at intuitively grasping non-linear functions.

z intuicyjnym rozumieniem funkcji nieliniowych.

So it seems improbable at first that 23 people could produce 253 possible pairs.

Początkowo wydaje się nieprawdopodobne, że 23 osoby mogą stworzyć 253 pary.

Once our brains accept that, the birthday problem makes more sense.

Jeśli nasze mózgi to zaakceptują, problem urodzin nabierze sensu.

Every one of those 253 pairs is a chance for a birthday match.

Każda z tych 253 par to szansa na wspólne urodziny.

For the same reason, in a group of 70 people,

W grupie 70 osób

there are 2,415 possible pairs,

możliwych jest 2415 par,

and the probability that two people have the same birthday is more than 99.9%.

a prawdopodobieństwo wspólnych urodzin to ponad 99,9%.

The birthday problem is just one example where math can show

Problem urodzin to jeden z przykładów,

that things that seem impossible,

że rzeczy, które wyglądają na niemożliwe,

like the same person winning the lottery twice,

jak dwukrotna wygrana na loterii,

actually aren't unlikely at all.

w rzeczywistości wcale nie są nieprawdopodobne.

Sometimes coincidences aren't as coincidental as they seem.

Czasem przypadki nie są tak przypadkowe, jak się wydaje.